4720: [Noip2016]换教室
Description
对于刚上大学的牛牛来说,他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程。在可以选择的课程中,有2n节课程安排在n个时间段上。在第i(1≤i≤n)个时间段上,两节内容相同的课程同时在不同的地点进行,其中,牛牛预先被安排在教室ci上课,而另一节课程在教室di进行。在不提交任何申请的情况下,学生们需要按时间段的顺序依次完成所有的n节安排好的课程。如果学生想更换第i节课程的教室,则需要提出申请。若申请通过,学生就可以在第i个时间段去教室di上课,否则仍然在教室ci上课。由于更换教室的需求太多,申请不一定能获得通过。通过计算,牛牛发现申请更换第i节课程的教室时,申请被通过的概率是一个已知的实数ki,并且对于不同课程的申请,被通过的概率是互相独立的。学校规定,所有的申请只能在学期开始前一次性提交,并且每个人只能选择至多m节课程进行申请。这意味着牛牛必须一次性决定是否申请更换每节课的教室,而不能根据某些课程的申请结果来决定其他课程是否申请;牛牛可以申请自己最希望更换教室的m门课程,也可以不用完这m个申请的机会,甚至可以一门课程都不申请。因为不同的课程可能会被安排在不同的教室进行,所以牛牛需要利用课间时间从一间教室赶到另一间教室。牛牛所在的大学有v个教室,有e条道路。每条道路连接两间教室,并且是可以双向通行的。由于道路的长度和拥堵程度不同,通过不同的道路耗费的体力可能会有所不同。当第i(1≤i≤n-1)节课结束后,牛牛就会从这节课的教室出发,选择一条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。现在牛牛想知道,申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体力值的总和的期望值最小,请你帮他求出这个最小值。
Input
第一行四个整数n,m,v,e。n表示这个学期内的时间段的数量;m表示牛牛最多可以申请更换多少节课程的教室;
v表示牛牛学校里教室的数量;e表示牛牛的学校里道路的数量。
第二行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示c,,即第i个时间段牛牛被安排上课的教室;保证1≤ci≤v。
第三行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示di,即第i个时间段另一间上同样课程的教室;保证1≤di≤v。
第四行n个实数,第i(1≤i≤n)个实数表示ki,即牛牛申请在第i个时间段更换教室获得通过的概率。保证0≤ki≤1。
接下来e行,每行三个正整数aj,bj,wj,表示有一条双向道路连接教室aj,bj,通过这条道路需要耗费的体力值是Wj;
保证1≤aj,bj≤v,1≤wj≤100。
保证1≤n≤2000,0≤m≤2000,1≤v≤300,0≤e≤90000。
保证通过学校里的道路,从任何一间教室出发,都能到达其他所有的教室。
保证输入的实数最多包含3位小数。
Output
输出一行,包含一个实数,四舎五入精确到小数点后恰好2位,表示答案。你的
输出必须和标准输出完全一样才算正确。
测试数据保证四舎五入后的答案和准确答案的差的绝对值不大于4*10^-3。(如果你不知道什么是浮点误差,这段话可以理解为:对于大多数的算法,你可以正常地使用浮点数类型而不用对它进行特殊的处理)
Sample Input
3 2 3 3
2 1 2
1 2 1
0.8 0.2 0.5
1 2 5
1 3 3
2 3 1
Sample Output
2.80
这道题也可以算得上是经典了。当时考NOIP碰到这道题，当时还壮志满怀，很长的一道题（至少当时看来是这样的）很快就被我读完了，发现可以分成三份：课程、教室，申请、概率，道路、耗费体力最少。
当时，我的很多同学见此题太长，就根本没有看。此题虽然沾期望，但其实很简单。
----------因为后面扯的东西比较多，就在这里讲一下思路。----------
我们这样开数组：f[2][2][M]，第一维枚举课程但可以“滚动”(cur)，第二位判断在第i门课程是否提交申请，第三维给现在已申请的课程计一下数。空间是O（M）的，时间是O（NM）的，最后输出f[cur][j][p](j=0,1; p=0,1,...,m)
这样，我们可以考虑转移。一个课程如果没有申请，那就是100%的“纯爷们儿”教室c。但如果申请了呢？可以YY一下薛定谔的猫，有概率的事件可以当做对立统一的个体。也就是说一个课程如果申请了，就可以看做k[i]个d教室和1-k[i]个c教室，实际转移时思考一下即可。
关于方程可以看看我的代码（本文末尾）。
----------好的，思路讲完了。我可以开始扯了。----------
当时我高兴极了，发现可以把课程当做i，把申请数当做j，把此时是否申请当0/1。当时才学了DP，只会背包（还是最简单的）和floyd，什么LIS、数位、状压（NOIPD2T3ANGRYBIRD）、树形都不知道，更不用说什么概率和期望了……然而就是考了。YJQ表示，不要再逼我吃键盘了。
关于吃键盘一事，都是因为——YJQ说NOIP绝对不考期望DPNOIP这么水的考试怎么可能考这种东西写个暴力就A题的比赛要是考了这种东西我就直播吃键盘……YJQ其实是一个很谨慎的人，不像lemonoil每天立下flag要直播吃掉∞个键盘。
“兜售巧克力味键盘了喂！专门为立flag死掉的人设计的喂~~~”
所以就是这样的。然而我当时就是想到了如何去做，虽然现在看完题就可以切过去。因为当时我既会背包，也会floyd。不过，天有不测风云，我当时的代码实现能力实在是太弱了……
弱到什么地步？也就是说，我发现当时k数组定义的是int类型……也许，质问当时的我，我还会义愤填膺地说，int不就是数么整数是数小数难道不是数么？！
呃呃呃呃呃。
然而，当我现在做到这道题时，当我已经“掌握”了概率与期望的时候，还是WA。
恩。请来客忽略我的强制调剂（eyeprotect）。一边调，一会儿AC，一会儿又WA的体验真的是第一回碰到。更令人惊奇的是，中间居然还有CE，让人颇为尴尬。要是NOIP也这样，那恐怕就只有再见OI了。
最后突然发现，卡了这么久竟是这两个原因。
1.memset(dis,65,sizeof(dis))很明显是错的，因为在floyd内部，dis+dis会跳负。应将65改成63或127/2。
2.这个地方才真正调了我很久，这个地方是让人非常尴尬的。DP中常常有x=std::min(x,y);的语句出现，但我在修改时只把第一个x改对了……所以说需要有#define smin(x,y) x=std::min(x,y)啊（YYF、mcfx等大佬强力推荐）！
最后挂一波代码吧。
1 /**************************************************************
2 Problem: 4720
3 User: Doggu
4 Language: C++
5 Result: Accepted
6 Time:1960 ms
7 Memory:1292 kb
8 ****************************************************************/
9
10 #define PN "classroom"
11 #include <cstdio>
12 #include <cstring>
13 #include <algorithm>
14 #define smin(x,y) x=std::min(x,y)
15 const int N = 2000+50;
16 const int M = 2000+50;
17 const int V = 300+10;
18 int n, m, v, e, c[N], d[N], dis[V][V], cur=0;
19 double k[N], f[2][2][M];
20
21 int main() {
22 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
23 for( int i = 1; i <= n; i++ ) scanf("%d",&c[i]);
24 for( int i = 1; i <= n; i++ ) scanf("%d",&d[i]);
25 for( int i = 1; i <= n; i++ ) scanf("%lf",&k[i]);
26 memset(dis,63,sizeof(dis));
27 for( int i = 1,a,b,w; i <= e; i++ ) {
28 scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
29 if(dis[a][b]>w) dis[a][b]=dis[b][a]=w;
30 }
31 for( int i = 1; i <= v; i++ ) dis[i][i]=0;
32 for( int p = 1; p <= v; p++ )
33 for( int i = 1; i <= v; i++ )
34 for( int j = 1; j <= v; j++ )
35 if (dis[i][j]>dis[i][p]+dis[p][j])
36 dis[i][j]=dis[i][p]+dis[p][j],
37 dis[j][i]=dis[i][j];
38 memset(f[cur],127,sizeof(f[cur]));f[cur][0][0]=f[cur][1][1]=0;
39 for( int i = 2; i <= n; i++ ) {
40 cur^=1;memset(f[cur],127,sizeof(f[cur]));
41 for( int p = 0; p <= m; p++ ) {
42 smin(f[cur][0][p],f[cur^1][1][p]+k[i-1]*dis[c[i]][d[i-1]]+(1-k[i-1])*dis[c[i]][c[i-1]]);
43 smin(f[cur][0][p],f[cur^1][0][p]+dis[c[i]][c[i-1]]);
44 smin(f[cur][1][p+1],f[cur^1][1][p]+k[i]*k[i-1]*dis[d[i]][d[i-1]]+(1-k[i])*k[i-1]*dis[c[i]][d[i-1]]+k[i]*(1-k[i-1])*dis[d[i]][c[i-1]]+(1-k[i])*(1-k[i-1])*dis[c[i]][c[i-1]]);
45 smin(f[cur][1][p+1],f[cur^1][0][p]+k[i]*dis[d[i]][c[i-1]]+(1-k[i])*dis[c[i]][c[i-1]]);
46 }
47 }
48 double ans=2000000000;
49 for( int j = 0; j <= 1; j++ )
50 for( int p = 0; p <= m; p++ )
51 ans=std::min(ans,f[cur][j][p]);
52 printf("%.2lf\n",ans);
53 return 0;
54 }
55
NOIP第一道期望DP