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一、二叉排序树
如果要查找的数据集是有序线性表且是顺序存储的，查找可以用折半、插值、斐波那契等查找算法来实现。然后，由于有序，当我们在插入和删除操作上，就需要耗费大量的时间。下面将要学习的二叉排序树，就是一种既可以使得插入和删除效率不错，又可以比较高效率地实现查找的算法。为此，构造一棵二叉排序树的目的并不是为了排序，而是为了提供查找和插入删除关键字的速度。
1.二叉排序树概念
二叉排序树(Binary Sort Tree)，又称为二叉查找树，或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树。
◆若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结构(双亲结点)的值;
◆若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点(双亲结点)的值;
◆它的左、右子树也分别为二叉排序树。
2.二叉树结点结构
/*二叉树的二叉链表结点结构定义*/
typedef struct BiTNode //结点结构
{
int data; //结点数据
Struct BiTNode *lchild,*rchild; //左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;
二、二叉排序树操作算法
1.二叉排序树的查询操作
/*递归查找二叉排序树T中是否存在key,
* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL
*若查找成功，则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE；否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE*/
Status SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f,BiTree *p)
{
if(!T) //查找不成功(为空树)
{
*p=f;
return FALSE;
}
else if(key==T->data) //查找成功
{
*p=T;
return TRUE;
}
else if(key<T->data)
return SearchBST(T->lchild,key,T,p); //在左子树继续查找
else
return SearchBST(T->rchild,key,T,p); //在右子树继续查找
}
实例：
假如有一数据集合={62,88,58,47,35,73,51,99,37,93}，查找的关键字key=93。
使用二叉排序树查找算法步骤如下：
①根据二叉排序树定义将该数据集合构造成一棵二叉排序树(中序遍历);
②调用二叉排序树查询算法SearchBST(T,93,NULL,P)查询关键字，其中，SearchBST函数是一个可递归运行的函数，参数T是一个二叉树链表、key代表要查询的关键字、二叉树f指向T的双亲。当T指向根结点时，f的初值就为NULL，它在递归时有用，最后的参数p是为了查找成功后可以得到查找到的结点位置。
③ if(!T){
.... }语句。用来判断当前二叉树是否到叶子结点，此时当前T指向根结点62的位置，由于T不为空，故该语句片段不执行。
④esle if(key==T->data)语句。即查找到相匹配的关键字执行语句，显然93!=62，故该语句片段不执行。
⑤else if(key<T->data)语句。即当要查找关键字小于当前结点时执行语句，由于93>62，故该语句片段不执行。
⑥else{....}语句。即当即当要查找关键字大于当前结点时执行语句，93>62,所以以递归调用SearchBST(T->rchild,key,T,p)。此时，T指向了62的右孩子88，f指向88的双亲结点，即62。如图：
⑦此时第二层SearchBST,因93比88大，所以执行else{....}语句，再次递归调用SearchBST(T->rchild,key,T,p)。此时T指向了88的右孩子99。
⑧此时第三层SearchBST,因93比99小，所以执行else if(key<T->data)语句，再次递归调用SearchBST(T->lchild,key,T,p)。此时T指向了99的左孩子93。
⑨第四层SearchBST,因key等于T->data，所以执行第10~11行，此时指针p指向93所在的结点并返回True到第三层、第二层、第一层，最终返回函数True。
2.二叉排序树的插入操作
所谓二叉排序树的插入，即将关键字放到树中的合适位置。
(1)二叉排序树的插入算法
/*当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时，
* 插入key并返回TRUE，否则返回FALSE*/
Status InsertBST(BiTree *T,int key)
{
BiTree p,s;
/*调用查找函数查找是否存在该关键字*/
//a.若查找不成功
if(!SearchBST(*T,key,NULL,&p))
{
s=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); //为结点s开辟一段内存空间
s->data=key; //将关键字存放到s指向结点的数据域中
s->lchid=s->rchild=NULL; //初始化结点s的左右指针域
if(!p)
*T=s; //插入s为新的根结点
else if(key<p->data)//若关键字小于p结点数据值，插入s为结点p的左孩子
p->lchild = s;
else //若关键字大于p结点数据值，插入s为结点p的右孩子
p->rchild=s;
}
/*树中已有关键字相同的结点，不再插入*/
else
{
return FALSE;
}
}
举例：假如我们调用函数是"InsertBST(T,93);"，那么结果就是FALSE;假如调用函数为"InsertBST(T,95);"，那么一定是就是在93的结点增加一个右孩子95，并返回TRUE。需要注意的是，由于插入算法事先调用了SearchBST(*T,key,NULL,&p)查找算法且使用中序遍历二叉树，最终我们可知指针p指向的结点为93.
3.构建二叉排序树算法
/*假如有一个数据集={62,88,58,47,35,73,51,99,37,93}
* 构建一个二叉排序树*/
int i;
int a[0]={62,88,58,47,35,73,51,99,37,93};
BiTree T=NULL;
for(i=0;i<10;i++)
{
InsertBST(&T,a[i]);
}
4.二叉排序树删除操作算法
(1)采用递归方式对二叉排序树T查找key，找到后调用Delete函数删除该结点
/*若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点
* 并返回TRUE；否则返回FALSE*/
Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
{
if(!*T) //不存在关键字等于key的数据元素
return FALSE;
else
{
if(key==(*T)->data) //找到关键字等于key的数据元素
return Delete(T); //调用Delete函数删除该结点
else if(key<(*T)->data)
return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
else
return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);
}
}
(2)Delete删除算法
/*从二叉排序树中删除结点p,并重接它的左或右子树*/
Status Delete(BiTree *p)
{
BiTree q,s;
/*情况二：删除结点p的右子树或左子树为空*/
if((*p)->lchild==NULL) //a.右子树空则只需重接它的左子树
{
q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q);
}
else if((*p)->rchild==NULL) //b.只需重接它的右子树
{
q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q); //将指针p指向的结点
}
//情况三：左右子树均不为空
else
{
q=*p; s=(*p)->lchild;
while(s->rchild) //转左，然后向右到尽头(找待删结点的前驱)
{
q=s; s=s->rchild;
}
(*p)->data=s->data; //s指向被删结点的直接前驱
if(q!=*p)
q->rchild=s->lchild; //重接q的右子树
else
q->lchild=s->lchild; //重接q的左子树
free(s);
}
return TRUE;
}
源码分析：
q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q);
作用：将指针p指向的结点赋值给新结点q，并使p指针指向的左结点，即实现了重接右子树，再释放结点q.
三、二叉排序树总结
二叉排序树是以链接的方式存储，保持了链接存储结构在执行插入或删除操作时不用移动元素的优点，只要找到合适的插入和删除位置后，仅需修改链接指针即可。插入删除的时间性能比较好，而对于二叉排序树的查找，走的就是从根结点到要查找的结点的路径，其比较次数等于给定值的结点在二叉排序树的层数。极端情况，最少为1次，即跟结点就是要找的结点，最多也不会超过树的深度，即二叉排序树的查找性能取决于二叉排序树的形状。