leetcode笔记：Range Sum Query 2D - Immutable

一. 题目描述

Given a 2D matrix matrix, find the sum of the elements inside the rectangle defined by its upper left corner (row1, col1) and lower right corner (row2, col2).

The above rectangle (with the red border) is defined by (row1, col1) = (2, 1) and (row2, col2) = (4, 3), which contains sum = 8.

二. 题目分析

题目大意是，给定一个二维矩阵，计算从下标(row1, col1) 到下标： (row2, col2)的子矩阵的和。题目给出了几个测试用例。

注意事项中提到：

• 假设矩阵不会改变；
• sumRegion（查询）函数会调用很多次；
• 假设row1 ≤ row2， 并且 col1 ≤ col2。

该题的重点是使当多次调用sumRegion函数时，算法能保持高效，因此最直观的方法是使用空间换取时间，通过构造辅助数组sumRecord，sumRecord[i][j]表示从下标(0, 0)到(x, y)的子矩阵的和（考虑到边界问题，辅助数组sumRecord大小设为(m + 1) * (n + 1)，其中m和n分别为数组matrix的行数和列数），使得题目转化为求取矩形边界的问题，如下面所示。

没有手动画图，引用网上的系列图片进行解释：

+-----+-+-------+     +--------+-----+     +-----+---------+     +-----+--------+
|     | |       |     |        |     |     |     |         |     |     |        |
|     | |       |     |        |     |     |     |         |     |     |        |
+-----+-+       |     +--------+     |     |     |         |     +-----+        |
|     | |       |  =  |              |  +  |     |         |  -  |              |
+-----+-+       |     |              |     +-----+         |     |              |
|               |     |              |     |               |     |              |
|               |     |              |     |               |     |              |
+---------------+     +--------------+     +---------------+     +--------------+

 sumRecord[i][j]   =  sumRecord[i-1][j]  + sumRecord[i][j-1]  - sumRecord[i-1][j-1] +
                      matrix[i-1][j-1]

这是小学学过的简单的矩形求面积方法，对于本题正好适用。

三. 示例代码

class NumMatrix {
public:
    NumMatrix(vector<vector<int>> &matrix) {
        int m = matrix.size();
        int n = m > 0 ? matrix[0].size() : 0;
        sumRecord = vector<vector<int>>(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        // 由于sumRegion函数可能被调用多次，因此使用辅助数组sumRecord用于
        // 记录matrix中坐标(0,0)到任一下标(i,j)之间矩形框内元素的值，这样
        // 每次调用sumRegion函数时只需查询sumRecord里的值并进行简单运算即可
        for (int i = 1; i <= m; ++i)
            for (int j = 1; j <= n; ++j)
                sumRecord[i][j] = matrix[i - 1][j - 1] + sumRecord[i - 1][j] + sumRecord[i][j - 1] - sumRecord[i - 1][j - 1];
    }

    int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
        return sumRecord[row2 + 1][col2 + 1] - sumRecord[row1][col2 + 1] - sumRecord[row2 + 1][col1] + sumRecord[row1][col1];
    }

private:
    vector<vector<int>> sumRecord;
};

// Your NumMatrix object will be instantiated and called as such:
// NumMatrix numMatrix(matrix);
// numMatrix.sumRegion(0, 1, 2, 3);
// numMatrix.sumRegion(1, 2, 3, 4);

四. 小结

在构造辅助数组时，应考虑边界问题和下标的转换，否则容易出现越界等错误。