3.8 求二叉树中节点的最大距离

题目：

把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，定义“距离”为两个节点之间的边数。

求一颗二叉树中的两个节点之间的距离的最大值。

方法一：用书上写的方法：

代码：

struct node {
    node *left;
    node *right;
    int nMaxLeft;
    int nMaxRight;
    char ch;
};

int nMaxLength = 0;

void FindMaxDistance(node *root) {
    if(root == NULL) return ;
    if(root->left == NULL) root->nMaxLeft = 0;
    if(root->right == NULL) root->nMaxRight = 0;
    if(root->left != NULL) FindMaxDistance(root->left);
    if(root->right != NULL) FindMaxDistance(root->right);
    if(root->left != NULL) {
        int temp = 0;
        if(root->left->nMaxLeft > root->left->nMaxRight) temp = root->left->nMaxLeft;
        else temp = root->left->nMaxRight;
        root->nMaxLeft = temp + 1;
    }
    if(root->right != NULL) {
        int temp = 0;
        if(root->right->nMaxLeft > root->right->nMaxRight) temp = root->right->nMaxLeft;
        else temp = root->right->nMaxRight;
        root->nMaxRight = temp + 1;
    }
    if(root->nMaxLeft + root->nMaxRight > nMaxLength) nMaxLength = root->nMaxLeft + root->nMaxRight;
}

方法二：

定义：经过节点x作为根节点的子树中，节点间的最大距离为Dis(x)。

在求过点x的最大距离时，最大距离的两个点有可能出现在三种情况下

1. 左子树
2. 右子树
3. 过节点x

经分析得出以下特点

1. 以上三种情况最终必定一叶子结束
2. 在第三种情况下必然是左子树高度 与 右子树高度 之和（只有这样，才可能取得最大值）

经过以上分析即可得出递推式

Dis(x) = max(Dis(x->left), Dis(x->right), height(x->left)+height(x->right))

代码：

struct node {
    node *left;
    node *right;
    char ch;
};

int maxLength = 0;

int Height(node *root) {
    if(root == NULL) return 0;
    return Height(root->left) > Height(root->right) ? Height(root->left)+1 : Height(root->right)+1;
}

int FindMaxDistance(node *root) {
    if(root == NULL) return 0;
    else if(root->left == NULL && root->right == NULL) return 0;
    int dis = max(FindMaxDistance(root->left), FindMaxDistance(root->right),
               Height(root->left)+Height(root->right));
    if (dis > maxLength) maxLength = dis;
    return dis;
}

方法三：

思路：利用深度优先遍历的方法。

这两点必然在以某个节点 A 为根的子树上，它们间的路径必然经过该子树的根节点 A 。

因而，以任意一个节点为根的子树，计算出经过该子树根节点的最大距离，则所有最大距离的最大值就是所要求的最大距离。

而经过一个树的根节点的最大距离 = 左子树的高度 + 右子树的高度 +2 （假设空节点的高度为 -1 ），因而可以用一个全局变量 max_d 保存最大距离，采用深度优先遍历，每遍历一个节点，计算出左右子树的高度，计算出其高度，并将经过该节点的最大距离值与 max_d 值比较，并更新 max_d ，

当遍历完所有节点时， max_d 就是所求的最大距离。

代码：

int maxLen = 0;

int FindMaxDistance(node *root, int &maxLen) {
    //每碰到一个子节点，高度自增1，可以设空节点高度为-1，
    //避免计算高度时对空节点的判断。
    if(root == NULL) return -1;
    int leftLen = FindMaxDistance(root->left, maxLen) + 1;
    int rightLen = FindMaxDistance(root->right, maxLen) + 1;
    if(leftLen + rightLen > maxLen) maxLen = leftLen + rightLen;
    return leftLen > rightLen ? leftLen : rightLen;
}