[LeetCode] Climbing Stairs （Sequence DP）

Climbing Stairs

https://oj.leetcode.com/problems/climbing-stairs/

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

这题比较简单，可以使用动态规划来求解。请看以下分析：

State：f[i] 表示从起点出发达到第 i 个位置的方案总数

Function：由于第 i 个位置可以由第 i – 2 个位置走两步或者由第 i – 1 个位置走一步而到达，因此有以下状态转移方程：

f[i] = f[i-1] + f[i-2]

Initialize：1. 从起点走到第一个位置，显然只有走 1 步到达这一种方案。

2. 从起点走到第二个位置，有两种方案：直接走 2 步或者每次走 1 步，走 2 次。因此，初始化状态如下：

f[0] = 1

f[1] = 2

注意：数组下标从0开始。

Answer：f[n - 1] 。

下面为 AC 的代码：

/**
 * Author : Zhou J
 * Email  : [email protected]
 */

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n)
    {
        if (n == 0)
        {
            return 0;
        }

        // State: 从起点走到第 i 个位置的方案总数
         int sum[n];

        // initialize
        sum[0] = 1;
        if (n >= 2)
        {
           sum[1] = 2;
        }

        // switch the state
        for (size_t ix = 2; ix < n; ++ix)
        {
            sum[ix] = sum[ix - 1] + sum[ix - 2];
        } 

        return sum[n - 1];
    }
};

Optimize

当然，此处并不需要使用一个 n 维的数组来存放 State ，观察状态转移方程就可以知道，此处只需要两个变量来存放状态即可。因此下面的代码对空间做了进一步的优化：

/**
 * Author : Zhou J
 * Email  : [email protected]
 */

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n)
    {
        if (n <= 2)
        {
            return n;
        }

        size_t now;
        

        size_t lastlast = 2; // f[1]
        size_t last = 1;     // f[0]

        // switch the state
        for (size_t ix = 2; ix < n; ++ix)
        {
            now = lastlast + last;
            last = lastlast;
            lastlast = now;
        } 

        return now;
    }
};