HDU 1098 Ignatius's puzzle 费马小定理+扩展欧几里德算法

题目大意：

给定k，找到一个满足的a使任意的x都满足 f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x 被65整除

推证：

f(x) = (5*x^12 + 13 * x^4 + ak) * x

因为x可以任意取 那么不能总是满足 65|x

那么必须是 65 | (5*x^12 + 13 * x^4 + ak)

那么就是说 x^12 / 13 + x^4 / 5 + ak / 65 正好是一个整数

假设能找到满足的a ， 那么将 ak / 65 分进x^12 / 13 + x^4 / 5中得到 （x^12+t1 ) / 13 + (x^4+t2) / 5 这两项均为整数

那么5*t1+13*t2 = ak

而这里 13|（x^12+t1 )     5| (x^4+t2)

这里13 ， 5均是素数

根据费马小定理可得 x^12 = 1 mod13  x^4 = 1 mod 5

那么t1 = 12 + 13*k1 , t2 = 4 + 5*k2

将t1 t2带入5*t1+13*t2 = ak

那么就是5*(12 + 13*k1) +13*(4 + 5*k2) = ak

->65（k1+k2)+112 = ak

这里k已知 ， 求a看做y ， k1+k2为整数，看成是x即可

那么就是求65x+ay=-112

这里就是求扩展欧几里得了

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <cstdlib>
 7 #include <vector>
 8
 9 using namespace std;
10 #define ll long long
11 #define N 500
12 #define pii pair<int,int>
13
14 void ex_gcd(ll a , ll b , ll &x , ll &y , ll &d)
15 {
16     ll t;
17     if(b==0){d=a,x=1,y=0;}
18     else{
19         ex_gcd(b , a%b , x , y , d);
20         t=x , x=y , y=t-a/b*y;
21     }
22 }
23
24
25 int main() {
26    // freopen("a.in" , "r" , stdin);
27    // freopen("out.txt" , "w" , stdout);
28     int a;
29     while(~scanf("%d" , &a)){
30         ll x , y , d;
31         ex_gcd((ll)65 , (ll)a , x , y , d);
32         if(112%d!=0) puts("no");
33         else{
34             printf("%I64d\n" , ((112/d*y%65)+65)%65);
35         }
36     }
37 }

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