约瑟夫问题例题小结

类型1：约瑟夫问题原题：（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2925）

　　大体就是一圈人，数到m的退出，询问最后留下来的人。

　　这样的题是约瑟夫系列问题的基础，普通暴力做法O(n*m)，不够优秀，可以通过数学方法优化至O(n)，其所用的思路是将一个规模n的问题转移成规模n-1的问题。

　　　　公式形式推导都很简单:f(i)表示规模i的约瑟夫问题最后留下人的编号，f(i)=(f(i-1)+m)%i

类型2：规模变态版：(http://poj.org/problem?id=1781)

　　类型1限制只数1,2，即每次去掉偶数项，易推导f(i)=(f(i-1)+2)%i

　　然而数据时限卡O(n)，通过《具体数学》上一种及其奇葩的推导，有一个O(log)解法，即f(i)=i循环右移（把二进制最高为的1放在最右面）

类型3：类型1变式：（http://poj.org/problem?id=1012）

　　2×n个人，通过约瑟夫方式间隔m杀人，使后n个坏人在前n个好人之前被杀的最小m。

　　引入Joseph递推公式，设有n个人，(0～n-1)，间隔m， f(i) 表示当前子序列中第i轮要退出的那个人

　　　　则　f(0)=0;

　　　　　　f(i)=(f(i-1)+m-1)%(n-i+1);

　　这个公式我真不知道是咋来的。。。

　　反正假设我们知道这个公式，那么就可以从小大到枚举m，O(n)枚举。

类型4：模型转变

　　假设不再是圈，而是一个链，每次从没有死的第一个开始计数。

　　这道题我确实是结合标程与打表找规律做出来的。

　　打表每一轮死亡的人，设f(i,j)表示第i轮第j个死的人，我们可以将f(i,j)按照不同j值分类，这些都比较好想，

　　　　这道题难点在于第a个人所表示的f(i,j)=a，则f(i-1,j)=a-a/k-1，人从0计数。

　　上面做完就随便怎么都能做了。

现在暂时总结这么多，总之约瑟夫问题足够神奇，也足够恶心。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 1000000
int f[MAXN];
int main()
{
//        freopen("input.txt","r",stdin);
        int n,m;
        while (scanf("%d%d",&n,&m),n+m)
        {
                f[1]=0;
                int t,x;
                for (int i=2;i<=n;i++)
                {
                        f[i]=(f[i-1]+m%i)%i;
                }
                printf("%d %d %d\n",n,m,f[n]+1);
        }
}

hdu 2925

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 99000000
const int ten[7]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000};
struct aaa
{
        int val,id,ans;
}al[10000];
bool cmp_val(aaa a1,aaa a2)
{
        return a1.val<a2.val;
}
bool cmp_id(aaa a1,aaa a2)
{
        return a1.id<a2.id;
}
int main()
{
    //    freopen("input.txt","r",stdin);
        char str[5];
        int n=0;
        while (scanf("%s",str),str[0]+str[1]+str[3]-‘0‘*3)
        {
                int i,x;
                x=((str[0]-‘0‘)*10+str[1]-‘0‘)*ten[str[3]-‘0‘];
                al[n++].val=x;
                al[n-1].id=n-1;
        }
        sort(al,al+n,cmp_val);
        int now=0;
        int x,y,z;
        int i;
        x=0;
        while (now<n && al[now].val==1)
                al[now].ans=x+1;
        for (i=2;i<=MAXN;++i)
        {
                x=(x+2)>=i?(x+2-i):(x+2);
                while (now<n && al[now].val==i)
                        al[now++].ans=x+1;
        }
        sort(al,al+n,cmp_id);
        for (i=0;i<n;i++)
        {
                printf("%d\n",al[i].ans);
        }
}

poj 1781 O(n)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 99000000
const int ten[7]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000};

int main()
{
        freopen("input.txt","r",stdin);
        char str[5];
        int n=0;
        int x;
        while (scanf("%s",str),str[0]+str[1]+str[3]-‘0‘*3)
        {
                x=((str[0]-‘0‘)*10+str[1]-‘0‘)*ten[str[3]-‘0‘];
                for (int i=30;i>=0;i--)
                {
                        if (x&(1<<i))
                        {
                                printf("%d\n",(((x^(1<<i))<<1)+1));
                                break;
                        }
                }
        }
}

poj 1781 O(log)