UVa 10617 Again Palindrome（回文串区间DP）

UVa 10617 Again Palindrome（经典回文串区间DP）

题意：

给定一个字符串s，对s进行删除操作，使得剩下的子串是回文字符串，问最多有多少种这种子串。

思路：

涉及到回文字符串，首先要想到的肯定是区间DP，如何写出状态转移方程？

直接从题意切入：dp[i, j]表示区间[i, j]最多有多少个这样的子串。

1. s[i] == s[j] 去掉s[i]，则一个子问题就是dp[i+1, j]; 去掉s[j]，另一个子问题就是dp[i, j-1];

显然这两个子问题是会有重叠的，重叠的部分就是dp[i+1, j-1]，所以要减去这部分。

如果s[i], s[j]都不去掉呢？因为s[i] == s[j], s[i]和s[j]组成一个子回文字串，并且s[i]，s[j]和dp[i+1, j-1]

里面包含的所有子回文字串都构成回文字串，则这个子问题的解显然是dp[i+1, j-1] + 1。

于是会有 dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] + dp[i+1, j-1] + 1 - dp[i+1, j-1];

化简为 dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] + 1;

2. s[i] != s[j] 此时的子问题就比上述要简单了，因为s[i] s[j]与dp[i+1, j-1]的回文子串构成不了回文串。

于是 dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1];

<span style="font-size:18px;">#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;

#define ll long long
const double PI = acos(-1.0);
const double e = 2.718281828459;
const double eps = 1e-8;
const int MAXN = 65;
ll dp[MAXN][MAXN];
char s[MAXN];

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    int Case;
    cin>>Case;
    while(Case--)
    {
        scanf("%s", s+1);
        int len = strlen(s+1);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int i = 1; i <= len; i++)
        {
            dp[i][i] = 1;
        }
        for(int k = 2; k <= len; k++)
        {
            for(int i = 1, j = k; j <= len; i++, j++)
            {
                if(s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = dp[i+1][j]+dp[i][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j] = dp[i+1][j]+dp[i][j-1]-dp[i+1][j-1];
            }
        }
        cout<<dp[1][len]<<endl;
    }
    return 0;
}</span>

下面这种为递归写法，记忆化搜索。

<span style="font-size:18px;">#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;

#define ll long long
#define max(a, b) (a)>(b)?(a):(b)
const double PI = acos(-1.0);
const double e = 2.718281828459;
const double eps = 1e-8;
const int MAXN = 65;
ll dp[MAXN][MAXN];
char s[MAXN];

ll dfs(int l, int r)
{
    if(dp[l][r] != -1)
        return dp[l][r];
    if(l >= r)
        return dp[l][r] = (l==r)?1:0;
    if(s[l] == s[r])
        dp[l][r] = max(dp[l][r], dfs(l+1, r)+dfs(l, r-1)+1);
    else
        dp[l][r] = max(dp[l][r], dfs(l+1, r)+dfs(l, r-1)-dfs(l+1, r-1));
    return dp[l][r];
}

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    int Case;
    cin>>Case;
    while(Case--)
    {
        scanf("%s", s+1);
        int len = strlen(s+1);
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        dp[1][len] = dfs(1, len);
        cout<<dp[1][len]<<endl;
    }
    return 0;
}</span>