概念
最小二乘法多项式曲线拟合,依据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点。而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。
原理
[原理部分由个人依据互联网上的资料进行总结。希望对大家能实用]
给定数据点pi(xi,yi),当中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。
而且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y。i=1,2,...,m。
常见的曲线拟合方法:
1.使偏差绝对值之和最小
2.使偏差绝对值最大的最小
3.使偏差平方和最小
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线。而且採取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程:
1. 设拟合多项式为:
2. 各点到这条曲线的距离之和,即偏差平方和例如以下:
3. 为了求得符合条件的a值。对等式右边求ai偏导数,因而我们得到了:
.......
4. 将等式左边进行一下化简,然后应该能够得到以下的等式:
.......
5. 把这些等式表示成矩阵的形式。就能够得到以下的矩阵:
6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
7. 也就是说X*A=Y,那么A = (X‘*X)-1*X‘*Y,便得到了系数矩阵A,同一时候,我们也就得到了拟合曲线。
实现
执行前提:
- Python执行环境与编辑环境;
- Matplotlib.pyplot图形库,可用于高速绘制2D图表。与matlab中的plot命令类似,并且使用方法也基本同样。
代码:
# coding=utf-8 ‘‘‘ 作者:Jairus Chan 程序:多项式曲线拟合算法 ‘‘‘ import matplotlib.pyplot as plt import math import numpy import random fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111) #阶数为9阶 order=9 #生成曲线上的各个点 x = numpy.arange(-1,1,0.02) y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x] #ax.plot(x,y,color=‘r‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘) #,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5" #生成的曲线上的各个点偏移一下,并放入到xa,ya中去 i=0 xa=[] ya=[] for xx in x: yy=y[i] d=float(random.randint(60,140))/100 #ax.plot([xx*d],[yy*d],color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘) i+=1 xa.append(xx*d) ya.append(yy*d) ‘‘‘for i in range(0,5): xx=float(random.randint(-100,100))/100 yy=float(random.randint(-60,60))/100 xa.append(xx) ya.append(yy)‘‘‘ ax.plot(xa,ya,color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘) #进行曲线拟合 matA=[] for i in range(0,order+1): matA1=[] for j in range(0,order+1): tx=0.0 for k in range(0,len(xa)): dx=1.0 for l in range(0,j+i): dx=dx*xa[k] tx+=dx matA1.append(tx) matA.append(matA1) #print(len(xa)) #print(matA[0][0]) matA=numpy.array(matA) matB=[] for i in range(0,order+1): ty=0.0 for k in range(0,len(xa)): dy=1.0 for l in range(0,i): dy=dy*xa[k] ty+=ya[k]*dy matB.append(ty) matB=numpy.array(matB) matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB) #画出拟合后的曲线 #print(matAA) xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01) yya=[] for i in range(0,len(xxa)): yy=0.0 for j in range(0,order+1): dy=1.0 for k in range(0,j): dy*=xxa[i] dy*=matAA[j] yy+=dy yya.append(yy) ax.plot(xxa,yya,color=‘g‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘) ax.legend() plt.show()
执行效果:
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时间: 2024-11-10 02:31:51