欧拉函数知识点总结及代码模板及欧拉函数表

概念梳理:

欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。

欧拉函数的性质:它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后,所有的素数幂上的欧拉函数之积。

欧拉函数的值  通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等     于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4)

推论:当n为奇数时,有φ(2n)=φ(n)。

若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。

设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。

特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

算法实现与分析:

求解欧拉函数的值可用φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),容易知道要对n进行素因子分解。

(1)直接实现

 1 int oula(int n)
 2 {
 3     int rea=n;
 4     for(int i=2; i<=n; i++)
 5         if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
 6         {
 7             rea=rea-rea/i;
 8             do
 9                 n/=i;//把该素因子全部约掉
10             while(n%i==0);
11         }
12     return rea;
13 }

这个函数的复杂度为O(n),如果n达到1000000000,肯定会超时,由于任何一个合数都至少有一个不大于根号n的素因子,所以只需遍历到根号n即可,这样复杂度降为O(√¯n)

下面是优化代码:

 1 int oula(int n)
 2 {
 3     int rea=n;
 4     for(int i=2; i*i<=n; i++)
 5         if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
 6         {
 7             rea=rea-rea/i;
 8             do
 9                 n/=i;//把该素因子全部约掉
10             while(n%i==0);
11         }
12     if(n>1)
13         rea=rea-rea/n;
14     return rea;
15 }

(2)素数表实现

先把50 000以内的素数用筛选法选出来并保存,以方便欧拉函数使用,这样,在不考虑筛选法的时间复杂度,而单纯看欧拉函数,其复杂度为O(x),x为O(√¯n)以内素数的个数。

 1 bool boo[50000];
 2 int p[20000];
 3 void prim()
 4 {
 5     memset(boo,0,sizeof(boo));
 6     boo[0]=boo[1]=1;
 7     int k=0;
 8     for(int i=2; i<50000; i++)
 9     {
10         if(!boo[i])
11             p[k++]=i;
12         for(int j=0; j<k&&i*p[j]<50000; j++)
13         {
14             boo[i*p[j]=1;
15                 if(!(i%p[j]))
16                 break;
17         }
18 }
19 }//筛选法打表
20 int phi(int n)
21 {
22     int rea=n;
23     for(int i=0; p[i]*p[i]<=n; i++)//对于一些不是素数的可不遍历
24         if(n%p[i]==0)
25         {
26             rea=rea-rea/n;
27             do
28                 n/=p[i];
29             while(n%p[i]==0);
30         }
31     if(n>1)
32         rea=rea-rea/n;
33     return rea;
34 }

(3)递推求欧拉函数

如果频繁的使用欧拉函数值,就需要预先打表,下面介绍递推求欧拉公式的方法。

可预先之所有数的欧拉函数值都为她本身,有定理可知,如果p是一个正整数且满足φ(p)=p-1;那么p是素数,在遍历过程中如果遇到欧拉函数与自身相等的情况。那么说明该数为素数,把这个数的欧拉函数值改变,同时也把能被素因子整除的数改变。

 1 for(i=1; i<=maxn; i++)
 2     p[i]=i;
 3 for(i=2; i<=maxn; i+=2)
 4     p[i]/=2;
 5 for(i=3; i<=maxn; i+=2)
 6     if(p[i]==i)
 7     {
 8         for(j=i; j<=maxn; j+=i)
 9             p[j]=p[j]/i*(i-1);
10     }

噶呜~附上欧拉函数表:

2-100欧拉函数表

n φ(n)

2 1

3 2

4 2

5 4

6 2

7 6

8 4

9 6

10 4

11 10

12 4

13 12

14 6

15 8

16 8

17 16

18 6

19 18

20 8

21 12

22 10

23 22

24 8

25 20

26 12

27 18

28 12

29 28

30 8

31 30

32 16

33 20

34 16

35 24

36 12

37 36

38 18

39 24

40 16

41 40

42 12

43 42

44 20

45 24

46 22

47 46

48 16

49 42

50 20

51 32

52 24

53 52

54 18

55 40

56 24

57 36

58 28

59 58

60 16

61 60

62 30

63 36

64 32

65 48

66 20

67 66

68 32

69 44

70 24

71 70

72 24

73 72

74 36

75 40

76 36

77 60

78 24

79 78

80 32

81 54

82 40

83 82

84 24

85 64

86 42

87 56

88 40

89 88

90 24

91 72

92 44

93 60

94 46

95 72

96 32

97 96

98 42

99 60

100 40

欧拉函数知识点总结及代码模板及欧拉函数表

时间: 2024-10-12 20:33:23

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