个人笔记,可能错误
2.1 Peano公理
假设2.6
书中没有证明假设2.6,不知道为什么。
2.2 加法
公理2.5
看了这儿才知道,原来数学归纳法是公理,最基础的东西。
命题2.1.16
正如所说,这个命题定义了递归,通过一个函数,定义了n->an
->前面的n就是普通自然数,->后面的an 也满足自然数的5条公理,一个例子是后面定义2.2.1中提到的fn(x)==x+3 ,这里,“an”中的“0”,也就是c,为3,0++=4,以此类推。
定义2.2.1
书中写“为使m加上零,我们定义0+m:=m”,这里想了半天,为什么不是定义m+0:=m,感觉如果翻译成把0加到m上(英文原文是to add zero to m),就好理解多了,看来得中英文版本对着看
定义2.2.1后面为什么:两个自然数的和仍然是自然数
对于n+m,m为自然数,对n归纳
0+m=m为自然数,假设n+m为自然数
(n++)+m = (n+m)++,根据公理2.2得证
引例2.2.3后面为什么:n++=n+1
引例2.2.3中带入m=0
n+(0++)=(n+0)++,根据(公理2.2中定义)0++=1,而n+0=n(引例2.2.2),故
n+1=n++
习题2.2
2.2.1(a+b)+c=a+(b+c)
对c归纳,保持a、b固定,对于c=0,显然
(a+b)+0=a+(b+0)
假定(a+b)+c=a+(b+c)
(a+b)+c++=((a+b)+c)++
a+(b+c++)=a+(b+c)++=(a+(b+c)++
上面2式就是归纳假定
2.2.2存在自然数b,使得b++=a
由于自然数只有0不是正数,可以设第一个正数为a=0++,这样对于a,有b=0满足b++=a,假设对于a,存在b++=a,则(b++)++=a++
2.2.3
(a) a=b => a≥a
(b)a=b+m, b=c+n则a=c+n+m=c+(n+m) => a≥c
(c)a=b+m, b=a+n则a=a+n+m=a+(n+m)
由于a=a+0,所以n+m=0,根据推论2.2.9,m=0, n=0,所以a=b
(d)=>
对c归纳,c=0的情况就是前提a≥b,假设c成立a+c≥b+c, 即a+c=b+c+m,这样,
b+(c++)+m = 引理2.2.3
(b+c)++ +m = 加法定义
((b+c)+m)++ = 归纳假定
(a+c)++
而a+c++ = (a+c)++ 引理2.2.3
<=
由于a+c=b+c+m=b+m+c,根据命题2.2.6得出a=b+m,所以a≥b
(f) 把(f)放在(e)前面,因为(e)要用到(f),不知道是不是理解有错
=>
a < b,所以a+m=b且a不等于b,如果m=0,则a=b,矛盾,所以m为正的
<=
b=a+d =>b≥a, 如果a=b则d=0,与d为正的矛盾,所以a < b
(e) =>
a < b,所以a+m=b,其中m为正的,所以存在自然数n使得n++=m,所以a+n++=b,而a+n++=a++ +n =(a+n)++=b,所以a++≤b
<=
a++≤b 则a++ +m=b,所以a+m++=b,所以a+n=b
其中n=m++为正的,根据(f)得出a