陶哲轩实分析-第2章-从头开始:自然数

个人笔记,可能错误

2.1 Peano公理

假设2.6

书中没有证明假设2.6,不知道为什么。

2.2 加法

公理2.5

看了这儿才知道,原来数学归纳法是公理,最基础的东西。

命题2.1.16

正如所说,这个命题定义了递归,通过一个函数,定义了n->an

->前面的n就是普通自然数,->后面的an 也满足自然数的5条公理,一个例子是后面定义2.2.1中提到的fn(x)==x+3 ,这里,“an”中的“0”,也就是c,为3,0++=4,以此类推。

定义2.2.1

书中写“为使m加上零,我们定义0+m:=m”,这里想了半天,为什么不是定义m+0:=m,感觉如果翻译成把0加到m上(英文原文是to add zero to m),就好理解多了,看来得中英文版本对着看

定义2.2.1后面为什么:两个自然数的和仍然是自然数

对于n+m,m为自然数,对n归纳

0+m=m为自然数,假设n+m为自然数

(n++)+m = (n+m)++,根据公理2.2得证

引例2.2.3后面为什么:n++=n+1

引例2.2.3中带入m=0

n+(0++)=(n+0)++,根据(公理2.2中定义)0++=1,而n+0=n(引例2.2.2),故

n+1=n++

习题2.2

2.2.1(a+b)+c=a+(b+c)

对c归纳,保持a、b固定,对于c=0,显然

(a+b)+0=a+(b+0)

假定(a+b)+c=a+(b+c)

(a+b)+c++=((a+b)+c)++

a+(b+c++)=a+(b+c)++=(a+(b+c)++

上面2式就是归纳假定

2.2.2存在自然数b,使得b++=a

由于自然数只有0不是正数,可以设第一个正数为a=0++,这样对于a,有b=0满足b++=a,假设对于a,存在b++=a,则(b++)++=a++

2.2.3

(a) a=b => a≥a

(b)a=b+m, b=c+n则a=c+n+m=c+(n+m) => a≥c

(c)a=b+m, b=a+n则a=a+n+m=a+(n+m)

由于a=a+0,所以n+m=0,根据推论2.2.9,m=0, n=0,所以a=b

(d)=>

对c归纳,c=0的情况就是前提a≥b,假设c成立a+c≥b+c, 即a+c=b+c+m,这样,

b+(c++)+m = 引理2.2.3

(b+c)++ +m = 加法定义

((b+c)+m)++ = 归纳假定

(a+c)++

而a+c++ = (a+c)++ 引理2.2.3

<=

由于a+c=b+c+m=b+m+c,根据命题2.2.6得出a=b+m,所以a≥b

(f) 把(f)放在(e)前面,因为(e)要用到(f),不知道是不是理解有错

=>

a < b,所以a+m=b且a不等于b,如果m=0,则a=b,矛盾,所以m为正的

<=

b=a+d =>b≥a, 如果a=b则d=0,与d为正的矛盾,所以a < b

(e) =>

a < b,所以a+m=b,其中m为正的,所以存在自然数n使得n++=m,所以a+n++=b,而a+n++=a++ +n =(a+n)++=b,所以a++≤b

<=

a++≤b 则a++ +m=b,所以a+m++=b,所以a+n=b

其中n=m++为正的,根据(f)得出a

2.3 乘法

时间: 2024-10-11 21:05:26

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