前言
支持向量机，也即SVM，号称分类算法，甚至机器学习界老大哥。其理论优美，发展相对完善，是非常受到推崇的算法。
本文将讲解的SVM基于一种最流行的实现 - 序列最小优化，也即SMO。
另外还将讲解将SVM扩展到非线性可分的数据集上的大致方法。
预备术语
1. 分割超平面：就是决策边界
2. 间隔：样本点到分割超平面的距离
3. 支持向量：离分割超平面距离最近的样本点
算法原理
在前一篇文章 - 逻辑回归中，讲到了通过拟合直线来进行分类。
而拟合的中心思路是求错误估计函数取得最小值，得到的拟合直线是到各样本点距离和最小的那条直线。
然而，这样的做法很多时候未必是最合适的。
请看下图：
一般来说，逻辑回归得到的直线线段会是B或者C这样的形式。而很显然，从分类算法的健壮性来说，D才是最佳的拟合线段。
SVM分类算法就是基于此思想：找到具有最小间隔的样本点，然后拟合出一个到这些样本点距离和最大的线段/平面。
如何计算最优超平面
1. 首先根据算法思想 - "找到具有最小间隔的样本点，然后拟合出一个到这些样本点距离和最大的线段/平面。" 写出目标函数：
该式子的解就是待求的回归系数。
然而，这是一个嵌套优化问题，非常难进行直接优化求解。为了解这个式子，还需要以下步骤。
2. 不去计算内层的min优化，而是将距离值界定到一个范围 - 大于1，即最近的样本点，也即支持向量到超平面的距离为1。下图可以清楚表示这个意思：
去掉min操作，代之以界定：label * (wTx + b) >= 1。
3. 这样得到的式子就是一个带不等式的优化问题，可以采用拉格朗日乘子法(KKT条件)去求解，具体步骤推论本文不给出。推导结果为：
另外，可加入松弛系数 C，用于控制 "最大化间隔" 和"保证大部分点的函数间隔小于1.0" 这两个目标的权重。
将 α >= 0 条件改为 C >= α >= 0 即可。
α 是用于求解过程中的一个向量，它和要求的结果回归系数是一一对应的关系。
将其中的 α 解出后，便可依据如下两式子(均为推导过程中出现的式子)进行转换得到回归系数：
说明: 要透彻理解完整的数学推导过程需要一些时间，可参考某位大牛的文章http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837。
使用SMO - 高效优化算法求解 α 值
算法思想：
每次循环中选择两个 α 进行优化处理。一旦找到一对合适的 α，那么就增大其中一个减小另外一个。
所谓合适，是指必须符合两个条件：1. 两个 α 值必须要在 α 分隔边界之外 2. 这两个α 还没有进行过区间化处理或者不在边界上。
使用SMO求解 α 伪代码：
1 创建一个 alpha 向量并将其初始化为全0 2 当迭代次数小于最大迭代次数(外循环): 3 对数据集中的每个向量(内循环): 4 如果该数据向量可以被优化 5 随机选择另外一个数据向量 6 同时优化这两个向量 7 如果都不能被优化，推出内循环。 8 如果所有向量都没有被优化，则增加迭代数目，继续下一次的循环。
实现及测试代码：
1 #!/usr/bin/env python 2 # -*- coding:UTF-8 -*- 3 4 ‘‘‘ 5 Created on 2014-12-29 6 7 @author: fangmeng 8 ‘‘‘ 9 10 from numpy import * 11 from time import sleep 12 13 #===================================== 14 # 输入： 15 # fileName: 数据文件 16 # 输出: 17 # dataMat: 测试数据集 18 # labelMat: 测试分类标签集 19 #===================================== 20 def loadDataSet(fileName): 21 ‘载入数据‘ 22 23 dataMat = []; labelMat = [] 24 fr = open(fileName) 25 for line in fr.readlines(): 26 lineArr = line.strip().split(‘\t‘) 27 dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) 28 labelMat.append(float(lineArr[2])) 29 return dataMat,labelMat 30 31 #===================================== 32 # 输入： 33 # i: 返回结果不等于该参数 34 # m: 指定随机范围的参数 35 # 输出: 36 # j: 0-m内不等于i的一个随机数 37 #===================================== 38 def selectJrand(i,m): 39 ‘随机取数‘ 40 41 j=i 42 while (j==i): 43 j = int(random.uniform(0,m)) 44 return j 45 46 #===================================== 47 # 输入： 48 # aj: 数据对象 49 # H: 数据对象最大值 50 # L: 数据对象最小值 51 # 输出: 52 # aj: 定界后的数据对象。最大H 最小L 53 #===================================== 54 def clipAlpha(aj,H,L): 55 ‘为aj定界‘ 56 57 if aj > H: 58 aj = H 59 if L > aj: 60 aj = L 61 return aj 62 63 #===================================== 64 # 输入： 65 # dataMatIn: 数据集 66 # classLabels: 分类标签集 67 # C: 松弛参数 68 # toler: 荣错率 69 # maxIter: 最大循环次数 70 # 输出: 71 # b: 偏移 72 # alphas: 拉格朗日对偶因子 73 #===================================== 74 def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter): 75 ‘SMO算法求解alpha‘ 76 77 # 数据格式转化 78 dataMatrix = mat(dataMatIn); 79 labelMat = mat(classLabels).transpose() 80 m,n = shape(dataMatrix) 81 alphas = mat(zeros((m,1))) 82 83 84 iter = 0 85 b = 0 86 while (iter < maxIter): 87 # alpha 改变标记 88 alphaPairsChanged = 0 89 90 # 对所有数据集 91 for i in range(m): 92 # 预测结果 93 fXi = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b 94 # 预测结果与实际的差值 95 Ei = fXi - float(labelMat[i]) 96 # 如果差值太大则进行优化 97 if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)): 98 # 随机选择另外一个样本 99 j = selectJrand(i,m) 100 # 计算另外一个样本的预测结果以及差值 101 fXj = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b 102 Ej = fXj - float(labelMat[j]) 103 # 暂存当前alpha值对 104 alphaIold = alphas[i].copy(); 105 alphaJold = alphas[j].copy(); 106 # 确定alpha的最大最小值 107 if (labelMat[i] != labelMat[j]): 108 L = max(0, alphas[j] - alphas[i]) 109 H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i]) 110 else: 111 L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C) 112 H = min(C, alphas[j] + alphas[i]) 113 if L==H: 114 pass 115 # eta为alphas[j]的最优修改量 116 eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T 117 if eta >= 0: 118 print "eta>=0"; continue 119 # 订正alphas[j] 120 alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta 121 alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L) 122 # 如果alphas[j]发生了轻微变化 123 if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): 124 continue 125 # 订正alphas[i] 126 alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j]) 127 128 # 订正b 129 b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T 130 b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T 131 if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1 132 elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2 133 else: b = (b1 + b2)/2.0 134 135 # 更新修改标记参数 136 alphaPairsChanged += 1 137 138 if (alphaPairsChanged == 0): iter += 1 139 else: iter = 0 140 141 return b,alphas 142 143 def test(): 144 ‘测试‘ 145 146 dataArr, labelArr = loadDataSet(‘/home/fangmeng/testSet.txt‘) 147 b, alphas = smoSimple(dataArr, labelArr, 0.6, 0.001, 40) 148 print b 149 print alphas[alphas>0] 150 151 152 if __name__ == ‘__main__‘: 153 test()
其中，testSet.txt数据文件格式为三列，前两列特征，最后一列分类结果。
测试结果：
结果具有随机性，多次运行的结果不一定一致。
得到 alphas 数组和 b 向量就能直接算到回归系数了，参考上述代码 93 行，稍作变换即可。
非线性可分情况的大致解决思路
当数据分析图类似如下的情况：
则显然无法拟合出一条直线来。碰到这种情况的解决办法是使用核函数 - 将在低维处理非线性问题转换为在高维处理线性问题。
也就是说，将在SMO中所有出现了向量内积的地方都替换成核函数处理。
具体的用法，代码本文不做讲解。
小结
支持向量机是分类算法中目前用的最多的，也是最为完善的。
关于支持向量机的讨论远远不会止于此，本文初衷仅仅是对这个算法有一定的了解，认识。
若是在以后的工作中需要用到这方面的知识，还需要全面深入的学习，研究。