一个函数证明题

函数$f(x)$在$[0，+\infty)$上二阶可导，$f^{‘}(0)≥0$， $f(0)≥0$ ，$f^{‘‘}(x)≥f(x)$.则$f(x)≥f(0)+f^{‘}(0)x$.

证.(Hansschwarzkopf ) 令$D=\frac{d}{dx}$, 则$D^2=\frac{d^2}{dx^2}$,

\[f‘‘(x)-f(x)=(D^2-I)f(x)=(D-I)(D+I)f(x)\geqslant 0.\]
令$u(x)=(D+I)f(x)$, 则$u(0)=f‘(0)+f(0)\geqslant 0$, 且$(D-I)u(x)\geqslant 0$. 即
\[e^xD(e^{-x}u(x))\geqslant 0.\]

故\[e^{-x}u(x)\geqslant u(0)\geqslant 0.\]

所以\[(D+I)f(x)\geqslant 0,\]

即\[e^{-x}D(e^xf(x))\geqslant 0.\]

从而\[e^xf(x)\geqslant f(0)\geqslant 0.\]

即\[f(x)\geqslant 0.\]

故\[D^2f(x)\geqslant f(x)\geqslant 0.\]

因此
\[f(x)=f(0)+f‘(0)x+\frac{f‘‘(\theta x)}{2}x^2\geqslant f(0)+f‘(0)x,\ \forall x\geqslant 0.\]

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