【ｂｚｏｊ３５０５】【ＣＱＯＩ２０１４】【数三角形】【组合数学】

Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

数据范围

1<=m,n<=1000

题解：考虑补集，先把答案赋为c(n*m)(3),然后减去三点共线的情况。

首先三点在一条水平或竖直的直线上非常好处理。直接减去c(n)(3)*m+c(m)(3)*n即可。

然后考虑不水平竖直的情况。

我们枚举一下边上两个点的横纵坐标之差(i,j)。那么中间的点可选的位置就是gcd(i,j)-1;然后再乘上这种直线的条数即可。注意要先处理组合数，要不然会爆的很惨。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,temp;
long long ans,c[1000001][5];
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int main()
{
   	scanf("%d%d",&n,&m);n++;m++;
   	c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n*m;i++)
     {
       c[i][0]=1;
       for(int j=1;j<=3;j++) c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
     }
    ans=c[n*m][3];
   	ans-=n*c[m][3];
   	ans-=m*c[n][3];
   	for (int i=1;i<n;i++)
   	  for (int j=1;j<m;j++)
   	    {
   	      temp=gcd(i,j);
   	      if (temp>1) ans-=(temp-1)*2*(n-i)*(m-j);
   	    }
   	cout<<ans<<endl;
}

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