正定矩阵

正定矩阵式自共轭矩阵的一种。正定矩阵类似复数中的正实数。定义：对于对称矩阵M，当且仅当存在任意向量x，都有

若上式大于等于零，则称M为半正定矩阵。正定矩阵记为M>0。

也被称为正定二次型

正定矩阵的判定

1、所有特征值为正数（根据谱定理，若条件成立，必然可以找到对角矩阵呢D和正定矩阵P，使M=P^-1DP）；
2、所有的顺序主子式为正定；
3、Cholesky分解得到的矩阵，其主对角线上的元素全为正数；
4、矩阵有半双线性映射形式。

首先解释双线性映射。假设三个向量空间X, Y和Z，有Z = B(X, Y)。对于X或Y中的任意向量都有到Z的唯一映射。如果把X固定，Y中的元素就存在到Z的线性映射，反过来也一样。
所谓半双线性映射，就是它的两个参数一个是线性的，另一个是半线性的（或共轭线性）。如：

复数空间的内积都是半双线性的。

正定矩阵的性质

1、正定矩阵均可逆，且逆矩阵也为正定矩阵；
2、正定矩阵与正实数的乘积也为正定；
3、迹Tr(M)>0；
4、存在唯一的平方根矩阵B，使得：

时间： 2024-10-06 02:19:37

正定矩阵的相关文章

平方和公式在正定矩阵上的推广

一般, 我们有 $$a,b>0\ra 2ab\leq a^2+b^2.$$ 但这个在正定矩阵中没有推广. 毕竟我们已有结论 ($A>0$ 表示 $A$ 正定) $$A,B>0\not\ra AB\mbox{ 正定}.$$ 但是 $$(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$$ 在正定矩阵中却有推广 $$A,B>0\ra (A+B)^2\leq 2(A^2+B^2).$$

[再寄小读者之数学篇](2014-05-18 从正定矩阵构造正定矩阵)

设 A 为 n 阶正定矩阵, x , y 为 n 维列向量且满足 xty>0 . 证明矩阵 M=A+xxtxty?AyytAytAy 正定. [再寄小读者之数学篇](2014-05-18 从正定矩阵构造正定矩阵),布布扣,bubuko.com

正定矩阵(Positive-definite Matrix)

原文链接 正定矩阵是自共轭矩阵的一种.正定矩阵类似复数中的正实数.定义:对于对称矩阵M,当且仅当存在任意向量x,都有 若上式大于等于零,则称M为半正定矩阵.正定矩阵记为M>0.也被称为正定二次型 正定矩阵的判定 1.所有特征值为正数(根据谱定理,若条件成立,必然可以找到对角矩阵的D和正定矩阵P,使M=P^-1DP):2.所有的顺序主子式为正定:3.Cholesky分解得到的矩阵,其主对角线上的元素全为正数:4.矩阵有半双线性映射形式. 首先解释双线性映射.假设三个向量空间X, Y和Z,有Z =

半正定矩阵

我来表露下个人浅显的理解.半正定与正定矩阵同意用半正定矩阵来事例:首先半正定矩阵定义为: 其中X 是向量,M 是变换矩阵 我们换一个思路看这个问题,矩阵变换中,代表对向量 X进行变换,我们假设变换后的向量为Y,记做.于是半正定矩阵可以写成: 这个是不是很熟悉呢? 他是两个向量的内积. 同时我们也有公式: ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度,是他们之间的夹角. 于是半正定矩阵意味着, 这下明白了么? 正定.半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度.

如何理解正定矩阵和半正定矩阵

乍看正定和半正定会被吓得虎躯一震,因为名字取得不知所以,所以老是很排斥去理解这个东西是干嘛用的,下面根据自己和结合别人的观点解释一下什么是正定矩阵(positive definite, PD) 和半正定矩阵(positive semi-definite, PSD). 定义 首先从定义开始对PD和PSD有一个初步的概念: 正定矩阵(PD): 给定一个大小为 \(n\times n\) 的实对称矩阵 \(A\) ,若对于任意长度为 \(n\) 的非零向量 \(X\),有 \(X^TAX>0\) 恒成

线性代数二、正定矩阵及其最小值

一.说明 本博客讲述内容根据MIT线性代数第二十八课归纳而成. MIT线性代数链接:http://open.163.com/newview/movie/courseintro?newurl=%2Fspecial%2Fopencourse%2Fdaishu.html 二.主要讲述问题 1-如何判断一个矩阵是正定矩阵 2-正定矩阵的最小值 3-正定矩阵的几何解释 三.如何判断一个矩阵是正定矩阵 1-首先我们需要明确一个概念-正定矩阵 一个矩阵是正定矩阵,那么必须要满足以下的关系 (1)它必须是一个n

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顺序主子式 顺序主子式>0是充要条件(等号不成立) 原文地址:https://www.cnblogs.com/YC-L/p/12253742.html

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