线性与齐次在多项式、函数中的定义

多项式

什么是多项式

满足如下条件的表达式才是多项式:

1 包含变量或者变量与常量

2 涉及的运算只有加运行，减运算，乘法运算与指数运算(指数必须>=0，不可以是负数)，不包含除法运算

线性多项式

多项式中的每一项总次数要么是1，要么是0

3x + 7y //是线性的
5x + 8y + 2 //线性的
7xy + 9x + 10y + 3  //非线性的，7xy未知数指数和为2，不是1

齐次多项式

多项式中每一项的总次数都相等

8x + 6y + 3z  //齐次的，次数为1
7xy + x^2 + y^2 //齐次的，次数为2
x + 3y + 1 //不是齐次的，含有常数项，常数项次数为0，其他项次数为1

既是线性的，又是齐次的，就称为齐次线性多项式

函数

线性函数

线性函数的定义分为两类，在微积分、解析几何等相关领域，满足线性多项式的函数是线性函数

f(x, y, z) = 3x + 7y + z + 3 //线性函数
f(x, y, z) = xy + 10z //非线性函数 xy指数总和为2
f(x, y ,z) = x/y + 9z + 5 //非线性函数， x/y不符合多项式定义

在线性代数领域，线性函数的定义为

f(x + y) = f(x) + f(y)
f(ax) = af(x)

其中x和y都是向量空间，a是一个常量

齐次函数

齐次函数的定义为，如果函数的每一个参数变为原来的a倍，函数的值就变为原来的a^k倍(其中k是整数，称为齐次的degree<度>),那么这个函数就是齐次的。注意，这里的函数的表达式可以不用满足多项式的定义

f(ax, ay) = a^kf(x, y)

推广到向量空间，齐次函数可以定义为

f(ax, ay) = a^kf(x, y)

其中x和y为向量空间，根据齐次函数的定义, 线性函数f(ax) = af(x)是齐次度为1的齐次函数

既是线性的，又是齐次的函数称为线性齐次函数

参考资料

https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_function

https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function