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2.5我们着重介绍了二进制整数的加、减运算,本次我们继续介绍乘、除运算。
引言
运算一直是程序运行当中一个重要的环节,而在二进制的运算过程当中,加法运算又是重中之重,它基本上奠定了二进制运算的基础。因为无论是减法还是乘法,都可以由加法运算来替代,唯有除法不能由加法替代。
了解计算机运算的规律,可以有助于我们理解很多程序代码上无法理解的内容。比如上章提到的溢出问题,在了解了加法运算的原理之后,相信猿友们都可以轻松的知道为何有些运算会得到意想不到的结果。
这里还需要提一点的是,不同的处理器所采取的运算方式可能是有细微的差别的,因此也不能一概而论。因此我们大多时候会尽量讨论运算的抽象数学特性,抽象的东西大部分时候总是可靠的,这种特性为跨平台提供了基础,不过也并非总是如此,毕竟LZ只听说过浮点数运算标准,还没听说过整数运算标准,不知道究竟是LZ孤陋寡闻了,还是确无此物。
正因如此,我们了解一下这些运算的抽象性,会有助于我们理解程序代码级无法理解的东西。
无符号乘法
无符号的乘法与加法类似,它的运算方式是比较简单的,只是也可能产生溢出。对于两个w位的无符号数来说,它们的乘积范围在0到(2w-1)2之间,因此可能需要2w位二进制才能表示。因此由于位数的限制,假设两个w位的无符号数的真实乘积为pro,根据截断的规则,则实际得到的乘积为 pro mod 2w。
补码乘法
与加法运算类似,补码乘法也是建立在无符号的基础之上的,因此我们可以很容易的得到,对于两个w位的补码数来说,假设它们的真实乘积为pro,则实际得到的乘积为 U2Tw(pro mod 2w)。
上面的式子我们有一个假设,就是假设对于w位的两个补码数来说,它们的乘积的低w位与无符号数乘积的低w位是一样的。这意味着计算机可以使用一个指令执行无符号和补码的乘法运算。
在书中给出了这一过程的证明,我们来大概看一下,这里主要应用了无符号编码和补码编码的关系,其中x’和y’分别代表x和y的补码编码。
这里运用的主要技巧就是2w mod 2w = 0。
乘法运算的优化
根据我们小学所学的乘法运算,我们知道,假设两个w位的二进制数相乘,则需要进行w次与运算,然后进行w - 1次加法运算才能得到结果。从此不难看出,乘法运算的时间周期是很长的。因此计算机界的高手们想出了一种方式可以优化乘法运算的效率,就是使用移位和加法来替代乘法。
上述优化的前提是对于一个w位的二进制数来说,它与2k的乘积,等同于这个二进制数左移k位,在低位补k个0。在书中对这一等式进行了证明,过程如下。
这个过程主要应用了无符号编码的公式,各位猿友应该不难看懂。
有了上面的基础,我们就可以使用移位和加法对乘法优化了。对于任意一个整数y,它总能使用二进制序列表示(假设不超过二进制的表示范围),因此我们可以将x和y乘积的二进制序列表示为如下形式(此公式在书中没有展现)。
x * y = x * (yw-12w-1 + ... + y020) = (x << w-1) * yw-1 +....+ (x << 0 ) * y0
我们举个例子,对于x * 17,我们可以计算x * 16 + x = (x << 4) + x ,这样算下来的话,我们只需要一次移位一次加法就可以搞定这个乘法运算。而对于x * 14,则可以计算 x * 8 + x * 4 + x * 2 = (x << 3) + (x << 2) + (x << 1) ,更快的方式我们可以这么计算,x * 16 - x * 2 = (x << 4) - (x << 1) 。
这里最后需要提一下的是,加法、减法和移位的速度并不会总快于乘法运算,因此是否要进行上面的优化就取决于二者的速度了。
无符号除法
除法与乘法不同,它不满足加法的分配律,也就是设y = m + n , x/y != x/m + x/n。而且不幸的是,它有时候会比乘法运算更慢,但是我们只能针对除数可表示为2k的除法运算进行优化,转换为算数右移或者逻辑右移k位的运算(无符号数为逻辑右移,为正数时,逻辑右移与算术右移效果一样)。
由于是除法,因此我们会涉及到舍入的问题。这里定义└x/y┘的值为a‘,x/y为a,则对于a‘,它是唯一一个整数,满足 a‘ =< a < a‘+1。
比如└2.1┘的值就为2,而对于└-2.1┘则为-3,如果本身就是整数,则等于自身。
书中给出了无符号数除以2k等价于右移k位(w > k >= 0)的证明,这一证明过程相对比较复杂一点,LZ这里给出一个相对简单的证明方式,不采用书上的证明。如果各位看LZ的证明看不懂的话,也可以参照一下书上的方式。
我们假设对于一个w位的无符号数来说,假设它的位表示为[xw-1....x0],则x = xw-12w-1 + .... + x020 。因此就有以下结果。
x/2k = xw-12w-1-k +... + xk20 + xk-12-1 +...+ x02-k = B2Uw-k([xw-1....xk]) + xk-12-1 +...+ x02-k
由于xk-12-1 +...+ x02-k <= 2-1 + .... 2-k = (1-(1/2)k) < 1 (这里是证明的关键一步,先假设所有位为1,则利用等比数列求和公式即可得到),因此有└xk-12-1 +...+ x02-k┘ = 0。
因此我们可以得到└x/2k┘ = └B2Uw-k([xw-1....xk])┘ + └xk-12-1 +...+ x02-k┘ = └B2Uw-k([xw-1....xk])┘ = B2Uw-k([xw-1....xk]) = x >> k。
更直观的,我们可以使用程序验证这一结果,看下面的Java代码。
public class Main { public static void main(String[] args) { int a = 17; int b = 8; int c = a/b; System.out.println("a:" + Integer.toBinaryString(a)); System.out.println("b:" + Integer.toBinaryString(b)); System.out.println("c:" + Integer.toBinaryString(c)); System.out.println("a >> 3:" + Integer.toBinaryString(a >> 3)); } }
这段程序的结果如下,可以看出a/b的结果就是a右移3位的结果,也就是结果等于a >> 3。
补码除法
由于刚才我们的程序使用的都是正数,因此虽然Java中没有无符号数,不过我们可以模拟出无符号数的效果。也可以认为,补码除法在被除数为正数的情况下,与无符号编码是一样的效果(我们不考虑除数为负的情况,因为被除数与除数的符号位可以相互抵消,以下也一样),不过当被除数为负数时就不同了。这里在介绍补码除法之前,我们先来看一下,当a为负数时的结果,也就是此时会采用补码编码。
我们将刚才的程序稍微修改一下,如下。
public class Main { public static void main(String[] args) { int a = -17; int b = 8; int c = a/b; System.out.println("a:" + Integer.toBinaryString(a)); System.out.println("b:" + Integer.toBinaryString(b)); System.out.println("c:" + Integer.toBinaryString(c)); System.out.println("a >> 3:" + Integer.toBinaryString(a >> 3)); System.out.println("c:" + c); System.out.println("a >> 3:" + (a >> 3)); } }
它得到的结果如下,有点出乎意料。
这次为了便于观看,我们将c和a >> 3的整数值打印了出来,发现移位运算的结果是-3,而a/b的结果为-2。可以看出我们a/b的结果是我们所期望的,可是移位的运算结果似乎在舍入的时候出现了问题。
其实这个问题出现的原因很简单,补码编码与无符号编码类似,对于位表示都有└x/2k┘= B2Tw-k([xw-1....xk]) = x >> k。不过此时由于是负数,所以采取了向下舍入。上面已经提到过└-2.1┘的值为-3。
因此,我们得到这样一个结论,当有舍入发生时,将一个负数右移k位不等价于把它除以2k。
除法的补救
既然在舍入时,一个负数右移k位不等价于把它除以2k。那么为了使用这种优化,计算机界的大神们自然要想办法解决这个问题。于是他们想出了一个办法,即“偏置”这个值(不得不佩服这些大神们)。
首先我们定义┌x/y┐的值为a‘,x/y为a,则对于a‘,它是唯一一个整数,满足 a‘-1 < a <= a‘。
在上面的定义基础上,“偏置”的含义就是,我们有┌x/y┐ = └(x+y-1)/y┘。这一过程的证明不难理解,我们假设x = ky + r(我们考虑r > 0 ,此时会有舍入发生),则有。
└(x+y-1)/y┘ = └(ky+r+y-1)/y┘ = k + └(r+y-1)/y┘ = k + 1
可以看出在做了这个处理之后,也就是将x加上y-1的偏移量,此时在舍入时,结果会在原来的基础上加1。这也正是“偏置”的含义所在,它会将舍入“偏置”到向上舍入。
下面我们将补码除法当中的程序按照这种方式修复一下,看是不是这个结果,如下。
public class Main { public static void main(String[] args) { int a = -17; int b = 8; int c = a/b; System.out.println("a:" + Integer.toBinaryString(a)); System.out.println("b:" + Integer.toBinaryString(b)); System.out.println("c:" + Integer.toBinaryString(c)); System.out.println("(a+b-1) >> 3:" + Integer.toBinaryString((a+b-1) >> 3)); System.out.println("c:" + c); System.out.println("(a+b-1) >> 3:" + ((a+b-1) >> 3)); } }
此处我们将a“偏置”,也就是加上b-1的偏移量,我们来看结果。
可以看出,在偏置之后,在负结果舍入时,移位运算的结果将会是我们期望得到的,这样我们便可以使用这一技巧进行优化了。
文章小结
到这里,二进制整数的运算就介绍完了,本章难度较高,因此各位猿友可能要费点力气了。下一章我们将进入浮点数的世界,一起期待吧。