Codeforces Round #FF (Div. 2) E. DZY Loves Fibonacci Numbers(斐波那契的定理+线段树)

/*

充分利用了菲波那切数列的两条定理:

①定义F[1] = a, F[2] = b, F[n] = F[n - 1] + F[n - 2]（n≥3）。

有F[n] = b * fib[n - 1] + a * fib[n - 2]（n≥3），其中fib[i]为斐波那契数列的第 i 项。

②定义F[1] = a, F[2] = b, F[n] = F[n - 1] + F[n - 2]（n≥3）。

有F[1] + F[2] + …… + F[n] = F[n + 2] - b

这题还有一个事实，就是两个上述定义的数列，相加，仍然符合F[n] = F[n - 1] + F[n - 2]的递推公式。

利用这两个定理，用线段树维护序列，线段树的每个结点记录这一段的前两项是什么，预处理好斐波那契数列

,便能O(1)地计算出每一个结点中间的数是多少、每一个结点的和。

*/

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;
#define maxn 300005
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define ll long long
const ll mod=1000000009;
ll fibo[maxn],sum[maxn<<2],a[maxn<<2],b[maxn<<2];
//打表菲波那切数列
void get_fibo(){
    fibo[1]=fibo[2]=1;
    for(int i=3;i<maxn;i++)
        fibo[i]=(fibo[i-1]+fibo[i-2])%mod;
}
//根据公式二得到该菲薄数列的第n个数
ll get_FB(int n,ll a1,ll b1){
    if(n==1) return a1%mod;
    else if(n==2) return b1%mod;
    else return (b1*fibo[n-1]+a1*fibo[n-2])%mod;
}
void push_up(int rt){
    sum[rt]=(sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1])%mod;
}
void push_down(int rt,int l,int r){
    int mid=(l+r)>>1;
    a[rt<<1]=(a[rt<<1]+a[rt])%mod;
    b[rt<<1]=(b[rt]+b[rt<<1])%mod;
    a[rt<<1|1]=(a[rt<<1|1]+get_FB(mid+1-l+1,a[rt],b[rt]))%mod;
    b[rt<<1|1]=(b[rt<<1|1]+get_FB(mid+1-l+2,a[rt],b[rt]))%mod;
    ll k1=(get_FB(mid-l+1+2,a[rt],b[rt])-b[rt]+mod)%mod;  //记录前半部分的和
    ll k2=(get_FB(r-l+1+2,a[rt],b[rt])-b[rt]-k1+mod)%mod;      //记录后半部分的和
    sum[rt<<1]=(sum[rt<<1]+k1)%mod;
    sum[rt<<1|1]=(sum[rt<<1|1]+k2)%mod;
    a[rt]=b[rt]=0;
}
void build(int l,int r,int rt){
    a[rt]=b[rt]=0;
    if(l==r){
        scanf("%d",&sum[rt]); return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson); build(rson);
    push_up(rt);
}
void update(ll L,ll R,ll l,ll r,ll rt){
    if(L<=l&&R>=r){
        a[rt]=(a[rt]+fibo[l-L+1])%mod;
        b[rt]=(b[rt]+fibo[l-L+2])%mod;
        sum[rt]=(sum[rt]+get_FB(r-l+1+2,fibo[l-L+1],fibo[l-L+2])-fibo[l-L+2]+mod)%mod;
        return;
    }
    push_down(rt,l,r);
    ll m=(l+r)>>1;
    if(L<=m) update(L,R,lson);
    if(R>m) update(L,R,rson);
    push_up(rt);
}
ll query(ll L,ll R,ll l,ll r,ll rt){
    if(L<=l&&R>=r) return sum[rt]%mod;
    push_down(rt,l,r);
    ll m=(l+r)>>1; ll ret=0;
    if(L<=m) ret+=query(L,R,lson);
    if(R>m) ret+=query(L,R,rson);
    return ret%mod;
}
int main(){
    ll i,j,n,m,a1,b1,c1;
    get_fibo();
    cin>>n>>m;
    build(1,n,1);
    while(m--){
        scanf("%lld%lld%lld",&a1,&b1,&c1);
        if(a1==1) update(b1,c1,1,n,1);
        else printf("%lld\n",(query(b1,c1,1,n,1)+mod)%mod);
    }
    return 0;
}