1. 题目
2. 解答
以 \(1, 2, \cdots, n\) 构建二叉搜索树,其中,任意数字都可以作为根节点来构建二叉搜索树。当我们将某一个数字作为根节点后,其左边数据将构建为左子树,右边数据将构建为右子树。因此,这是一个递归问题。
若以第 \(i\) 个数据为根节点,其左边数据有 \(i-1\) 个,左子树可能情况为 left_num,右边数据有 \(n-i\) 个,右子树可能情况为 right_num,因此以当前数据为根节点可以构建出 left_num * right_num 个二叉搜索树。
所以,我们要做的就是遍历 \(i = 1\cdots n\),统计出每个数据作为根节点可以构建出的二叉搜索树总个数即可。
- 递归法
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
int sum = 0;
if (n <= 1) return 1;
// 以当前的数为根节点,左右两边的数分别构建子树
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int left_num = numTrees(i - 1); // 左边的数可以构建多少个二叉搜索树
int right_num = numTrees(n - i); // 右边的数可以构建多少个二叉搜索树
sum += left_num * right_num;
}
return sum;
}
};
但是上面的程序运行时超时了,其实我们只需要统计一半数据就可以了,因为两边是对称的。
比如我们有 1,2,3,4,5 五个数,以 2 作为根节点,左边有 1 个数,右边有 3 个数。以 4 作为根节点,左边有 3 个数,右边有 1 个数。这两种情况是一样的,因此如果数据个数为偶数,我们只需要统计一半数据即可,而为奇数的话我们就要再多统计一个中间数据。
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
int sum = 0;
if (n <= 1) return 1;
int is_odd = n % 2;
int mid = n / 2;
// 以当前的数为根节点,左右两边的数分别构建子树
for (int i = 1; i <= mid; i++)
{
int left_num = numTrees(i - 1); // 左边的数可以构建多少个二叉搜索树
int right_num = numTrees(n - i); // 右边的数可以构建多少个二叉搜索树
sum += left_num * right_num;
}
sum = sum * 2;
if (is_odd) sum = sum + numTrees(mid) * numTrees(n - mid - 1);
return sum;
}
};
此外,我们还可以定义一个全局变量,来存放已经计算过的数值,避免在递归过程中大量地重复计算。
class Solution {
public:
#define MAX 1000
int nums[MAX]; // 存放已经计算过的数值
int numTrees(int n) {
int sum = 0;
//if (n <= 0) return 1;
if (n <= 1) return 1;
// 以当前的数为根节点,左右两边的数分别构建子树
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (nums[i-1] == 0) nums[i-1] = numTrees(i - 1); // 左边的数可以构建多少个二叉搜索树
int left_num = nums[i-1];
if (nums[n-i] == 0) nums[n-i] = numTrees(n - i); // 右边的数可以构建多少个二叉搜索树
int right_num = nums[n-i];
sum += left_num * right_num;
}
return sum;
}
};
- 迭代法
还可以将递归改写为循环,避免函数多次调用执行效率较低。
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
int nums[n+1] = {0};
nums[0] = 1;
nums[1] = 1;
if (n <= 1) return 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
// 从 n=2 开始统计可以构建多少个不同的二叉搜索树
for (int j = 1; j <= i; j++)
{
nums[i] += nums[j-1] * nums[i-j];
}
}
return nums[n];
}
};
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原文地址:https://www.cnblogs.com/seniusen/p/9991185.html
时间: 2024-10-01 02:45:17