题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2839
题目大意：给出一个长度为$N$的序列与$Q$次询问，每次询问左端点在$[a,b]$，右端点在$[c,d]$的区间中最大的中位数，强制在线（本题中的中位数定义与平常不同，设某区间长度为$L$，则在从小到大排序后的序列中（编号从$0$开始），其中位数为第$\lfloor L/2 \rfloor$号元素）$N,Q \leq 2 \times 10^4$
这鬼题让我知道主席树可以用于除第$K$大以外的问题$qwq$
观察$100 \%$的数据规模，$O(nQ)$的做法都比较吃力，所以考虑使用$log$数据结构进行维护获得$O(Qlogn)$或者$O(Qlog^2n)$的算法。故考虑到使用线段树进行维护，同时使用二分的方式寻找每个询问的答案，
其中check的内容就是寻找是否有满足该询问条件的区间，在其中（大于等于当前二分的数的数字个数）要大于等于（小于当前二分的数的数字个数）。断句略奇怪
不妨将大于等于当前二分的数的数字的权值设为1，小于当前二分的数的数字的权值设为-1，check的内容就等价于询问$$max(\sum_{i=x}^y w_i) \geq 0 (x \in {[a , b]} , y \in{[c , d]})$$是否成立。
所以想到对于每个数字建立一个线段树存储权值，在每一次二分询问时求出对应线段树中$x \in {[a , b]} , y \in{[c , d]},\sum_{i=b+1}^{c-1} w_i + max(\sum_{i=x}^b w_i)+max(max(\sum_{i=c}^y w_i))$是否大于0，刚好这三个式子对应区间和、区间最大后缀、区间最大前缀，可以使用线段树解决。
然后发现对于排序后的相邻两数只有一个$1$变成$-1$，就可以使用主席树将空间压到允许范围内了
时间复杂度为$O(Qlog^2n)$，空间复杂度为$O(nlogn)$，符合本题数据范围
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define MAXN 100002
3 using namespace std;
4 inline int read(){
5 int a = 0;
6 bool f = 0;
7 char c = getchar();
8 while(!isdigit(c)){
9 if(c == ‘-‘)
10 f = 1;
11 c = getchar();
12 }
13 while(isdigit(c)){
14 a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ ‘0‘);
15 c = getchar();
16 }
17 return f ? -a : a;
18 }
19 char output[12];
20 inline void print(int x){
21 int dirN = 11;
22 if(x == 0)
23 fwrite("0" , sizeof(char) , 1 , stdout);
24 else{
25 if(x < 0){
26 x = -x;
27 fwrite("-" , sizeof(char) , 1 , stdout);
28 }
29 while(x){
30 output[--dirN] = x % 10 + 48;
31 x /= 10;
32 }
33 fwrite(output + dirN , 1 , strlen(output + dirN) , stdout);
34 }
35 fwrite("\n" , 1 , 1 , stdout);
36 }
37 struct node{
38 int sum , lMax , rMax , l , r;
39 }Tree[22 * MAXN];
40 struct sortNum{//用于排序
41 int ind , num;
42 bool operator <(sortNum a){
43 return num < a.num;
44 }
45 }sorted[MAXN];
46 int num[MAXN] , root[MAXN];
47 int N , cntNode = 1 , rMax , rSum , lMax , lSum;
48
49 inline int max(int a , int b){
50 return a > b ? a : b;
51 }
52
53 inline void swap(int &a , int &b){
54 int t = a;
55 a = b;
56 b = t;
57 }
58
59 //初始化一个所有叶子结点权值都为1的线段树
60 void init(int dir , int l , int r){
61 Tree[dir].sum = Tree[dir].lMax = Tree[dir].rMax = r - l + 1;
62 if(l != r){
63 init(Tree[dir].l = ++cntNode , l , l + r >> 1);
64 init(Tree[dir].r = ++cntNode , (l + r >> 1) + 1 , r);
65 }
66 }
67
68 inline void pushup(int dir){
69 Tree[dir].lMax = max(Tree[Tree[dir].l].lMax , Tree[Tree[dir].l].sum + Tree[Tree[dir].r].lMax);
70 Tree[dir].rMax = max(Tree[Tree[dir].r].rMax , Tree[Tree[dir].r].sum + Tree[Tree[dir].l].rMax);
71 Tree[dir].sum = Tree[Tree[dir].l].sum + Tree[Tree[dir].r].sum;
72 }
73
74 //更新版本
75 void update(int now , int last , int l , int r , int dir){
76 if(l == r){
77 Tree[now].lMax = Tree[now].rMax = 0;
78 Tree[now].sum = -1;
79 }
80 else{
81 if(dir > l + r >> 1){
82 Tree[now].l = Tree[last].l;
83 update(Tree[now].r = ++cntNode , Tree[last].r , (l + r >> 1) + 1 , r , dir);
84 }
85 else{
86 Tree[now].r = Tree[last].r;
87 update(Tree[now].l = ++cntNode , Tree[last].l , l , l + r >> 1 , dir);
88 }
89 pushup(now);
90 }
91 }
92
93 //区间和
94 int findSum(int dir , int l , int r , int L , int R){
95 if(L >= l && R <= r)
96 return Tree[dir].sum;
97 int sum = 0;
98 if(l <= L + R >> 1)
99 sum += findSum(Tree[dir].l , l , r , L , L + R >> 1);
100 if(r > R + L >> 1)
101 sum += findSum(Tree[dir].r , l , r , (L + R >> 1) + 1 , R);
102 return sum;
103 }
104
105 //区间最大后缀
106 void findRightMax(int dir , int l , int r , int L , int R){
107 if(L >= l && R <= r){
108 rMax = max(rMax , Tree[dir].rMax + rSum);
109 rSum += Tree[dir].sum;
110 return;
111 }
112 if(r > L + R >> 1)
113 findRightMax(Tree[dir].r , l , r , (L + R >> 1) + 1 , R);
114 if(l <= L + R >> 1)
115 findRightMax(Tree[dir].l , l , r , L , L + R >> 1);
116 }
117
118 //区间最大前缀
119 void findLeftMax(int dir , int l , int r , int L , int R){
120 if(L >= l && R <= r){
121 lMax = max(lMax , Tree[dir].lMax + lSum);
122 lSum += Tree[dir].sum;
123 return;
124 }
125 if(l <= L + R >> 1)
126 findLeftMax(Tree[dir].l , l , r , L , L + R >> 1);
127 if(r > L + R >> 1)
128 findLeftMax(Tree[dir].r , l , r , (L + R >> 1) + 1 , R);
129 }
130
131 //二分check
132 //为了方便处理这里的代码与上面的公式稍有不同
133 inline bool check(int mid , int a , int b , int c , int d){
134 lSum = rSum = 0;
135 lMax = rMax = -1;
136 findRightMax(root[mid] , a , b - 1 , 1 , N);
137 findLeftMax(root[mid] , c + 1 , d , 1 , N);
138 return findSum(root[mid] , b , c , 1 , N) + lMax + rMax >= 0;
139 }
140
141 int main(){
142 N = read();
143 long long lastans = 0;
144 for(int i = 1 ; i <= N ; i++)
145 num[sorted[i].ind = i] = sorted[i].num = read();
146 init(root[1] = 1 , 1 , N);
147 sort(sorted + 1 , sorted + N + 1);
148 for(int i = 1 ; i <= N ; i++)
149 update(root[i + 1] = ++cntNode , root[i] , 1 , N , sorted[i].ind);
150 for(int Q = read() ; Q ; Q--){
151 int a = (read() + lastans) % N + 1 , b = (read() + lastans) % N + 1 , c = (read() + lastans) % N + 1 , d = (read() + lastans) % N + 1;
152 if(a > b)
153 swap(a , b);
154 if(a > c)
155 swap(a , c);
156 if(a > d)
157 swap(a , d);
158 if(b > c)
159 swap(b , c);
160 if(b > d)
161 swap(b , d);
162 if(c > d)
163 swap(c , d);
164 int l = 1 , r = N;
165 while(l < r){
166 int mid = l + r + 1 >> 1;
167 if(check(mid , a , b , c , d))
168 l = mid;
169 else
170 r = mid - 1;
171 }
172 printf("%d\n" , lastans = sorted[l].num);
173 }
174 return 0;
175 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/Itst/p/9748592.html
时间： 2024-11-24 23:31:50