补充一些数学知识：
首先AB相似：P-1*A*P=B， AB合同：CT*A*C=B,
二次型：系数在K中的一个n元二次多项式。由其生成的矩阵称为二次型的矩阵，二次型的矩阵一定是对称矩阵！
正定矩阵：实二次型xT*A*x > 0, x为列向量。
性质：假设A为正定矩阵
1、正定矩阵特征值全大于0
2、行列式 |A| >0
3、A合同于单位阵E，即存在可逆方阵C， s.t. CT*E*C = A = CT*C, 显然可得A为对称正定
正交矩阵：A*AT=AT*A=E ，
性质：
1、A的各行/列是单位向量且两两正交
2、AT=A-1
3、|A|=1
4、(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R
(另补充)
正交变换：实内积空间V到自身的满射A，如果保持内积不变，即<Aα, Aβ> = <α, β>；当且仅当A是V到自身一个同构映射。
正交变换保持向量长度、夹角、正交性、向量间的距离不变。
酉矩阵：A*AH=AH*A=E 显然为正交矩阵在复数域上的推广。其中H为共轭转置。
性质：
1、A的各行/列是单位向量且两两正交
2、AH=A-1
3、|A|=1
(另补充):
V上内积：复数域上线性空间V上一个二元函数<α, β> , 满足:
1, <α, β> = <α, β>的共轭; 2, 对第一个变量满足线性性(加法和数乘)，由1则对第二个变量也有; 3, <α, α> >=0 iff α=0取"="
酉空间：复线性空间V上如果指定了一个上述内积；
酉空间同构：设V, V‘ 都是酉空间，如果存在V到V‘一个双射σ，使得σ保持加法和数乘，且保持内积。则σ是V到V‘ 的一个同构映射
酉变换：酉空间V到自身的满射A，如果保持内积不变，即<Aα, Aβ> = <α, β>；当且仅当A是V到自身一个同构映射
(另补充):
厄米特矩阵：AH = A
对称变换：实内积空间V上一个变换A，如果满足<Aα, β> = <α, Aβ>，则称A为一个对称变换。当且仅当变换A在V任一标准正交基下矩阵为对称矩阵。
Hermite变换：酉空间V上一个变换A，如果满足<Aα, β> = <α, Aβ>，则称A为一个hermite变换/自伴(随)变换
定理：酉空间V上的hermite变换A如果有特征值，则其特征值为实数。
伴随变换：设A是复(实)内积空间V上一个线性变换，如果存在V上另一线性变换记为A* 满足<Aα, β> = <α, A*β>
定理：任意线性变换A，都存在唯一一个伴随矩阵A*。且若A在一个标准正交基矩阵为A，则A* 在这个标准正交基下矩阵为A*
实内积空间中，对称变换A的伴随变换是它自身；正交变换A的伴随变换是A-1 ; 斜对称是-A。
酉空间V中酉变换A的伴随变换是A-1 ; Hermite变换A的伴随变换是它自身。
正规矩阵：A*AH=AH*A (以上的矩阵均有这个性质，故正规矩阵最为广泛)
正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵U，使得A酉相似于对角矩阵B，即UH*A*U=U-1*A*U=B。
(另补充):
正规变换：设V复(实)内积空间，A是V上一个线性变换，如果A有伴随变换A* ，且AA*=A*A，则称A是正规变换。
定理：设A是有限维酉空间V上线性变换，则V存在一个标准正交基，使得A在此组基下的矩阵是对角矩阵。
定理：对于复数域上的任一n级正规矩阵A都酉相似于对角阵，即存在一个酉矩阵P，使得P-1*A*P 为对角矩阵。
原文地址：https://www.cnblogs.com/cymwill/p/9949712.html