文字描述
用连通网来表示n个城市及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。对于n个定点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。现在，我们要选择这样一个生成树，使总的耗费最少。这个问题就是构造连通网的最小代价生成树(Minimum Cost Spanning Tree: 最小生成树)的问题。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。
有多种算法可以构造最小生成树，其他多数都利用的最小生成的MST(minimum spanning tree)性质: 假设N={V, {E}}是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值(代价)的边，其中u属于U， v属于V-U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。 该性质可以用反证法证明。
现介绍普里姆(Prim)算法是如何利用MST性质求连通图的最小生成树的：
假设N={V,{E}}是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0} (u0属于V， TE={})开始，重复执行下述操作：在所有u属于U， v属于V-U 的边(u,v)属于E 中找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。
为实现这个算法需附设一个辅助数组closeedge, 以记录从U到V-U具有最小代价的边。对每个属于V-U的顶点vi ，在辅助数组中存在一个相应分量closedge[i-1],它包括两个域：
1：lowcose：存储该边上的权； 显然closedge[i-1].lowcost = Min{cost(u,vi) | u属于U}
2：vex: 存储该边依附的U中的顶点。
示意图
算法分析
在代码实现中的MinSpanTree_PRIM函数中。若网中有n个顶点， 则第一个初始化的循环语句的频度为n，第二个循环语句的频度为n-1；其中第二个循环中有两个内循环：其一是在 closedge[v].lowcost中求最小值，其频度为n-1；其二是重新选择具有最小代价的边，其频度为n。由此，普里姆算法的时间复杂度为n^2, 与网中的边数无关，因此使用适用于求边稠密的网的最小生成树。
代码实现
1 #include <stdio.h>
2 #include <stdlib.h>
3 #include <string.h>
4
5 #define DEBUG
6
7 #ifdef DEBUG
8 #include <stdarg.h>
9 #define LOG(args...) _log_(__FILE__, __FUNCTION__, __LINE__, ##args);
10 void _log_(const char *file, const char *function, int line, const char * format, ...)
11 {
12 char buf[1024] = {0};
13 va_list list;
14 va_start(list, format);
15 sprintf(buf, "[%s,%s,%d]", file, function, line);
16 vsprintf(buf+strlen(buf), format, list);
17 sprintf(buf+strlen(buf), "\n");
18 va_end(list);
19 printf(buf);
20 }
21 #else
22 #define LOG
23 #endif // DEBUG
24
25 #define INFINITY 100000 //最大值
26 #define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点数
27
28 //---------邻接矩阵的存储结构-----------------------------------------
29
30 //////////////////////////////////////////////////////////////
31 // 邻接矩阵作为图的存储结构
32 //////////////////////////////////////////////////////////////
33 typedef enum {DG, DN, UDG, UDN} GraphKind; //{有向图，有向网，无向图，无向网}
34 typedef int VRType;
35 typedef char VertexType; //顶点类型
36 typedef struct{
37 char note[10];
38 }InfoType;
39 typedef struct ArcCell{
40 VRType adj; //顶点关系类型：1)对无权图，用1或0表示相邻否；2)对带权图，则为权值类型
41 InfoType *info; //该弧相关信息的指针
42 }ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
43 typedef struct{
44 VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点向量
45 AdjMatrix arcs; //邻接矩阵
46 int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和弧数
47 GraphKind kind; //图的种类标志
48 }MGraph;
49
50
51 //---------采用邻接矩阵创建无向网-----------------------------------------
52
53 //////////////////////////////////////////////////////////////
54 // 若G中存在顶点u，则返回该顶点在图中位置；否则返回-1。
55 //////////////////////////////////////////////////////////////
56 int LocateVex(MGraph G, VertexType v){
57 int i = 0;
58 for(i=0; i<G.vexnum; i++){
59 if(G.vexs[i] == v){
60 return i;
61 }
62 }
63 return -1;
64 }
65
66
67 //////////////////////////////////////////////////////////////
68 // 采用数组表示法(邻接矩阵)，构造无向网
69 //////////////////////////////////////////////////////////////
70 int CreateUDN(MGraph *G)
71 {
72 printf("\n创建一个无向网(带权):\n");
73 int i = 0, j = 0, k = 0, IncInfo = 0;
74 int v1 = 0, v2 = 0, w = 0;
75 char tmp[10] = {0};
76 printf("输入顶点数，弧数，其他信息标志位: ");
77 scanf("%d,%d,%d", &G->vexnum, &G->arcnum, &IncInfo);
78 for(i=0; i<G->vexnum; i++)
79 {
80 printf("输入第%d个顶点: ", i+1);
81 memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
82 scanf("%s", tmp);
83 G->vexs[i] = tmp[0];
84 }
85 for(i=0; i<G->vexnum; i++)
86 {
87 for(j=0; j<G->vexnum; j++)
88 {
89 G->arcs[i][j].adj = INFINITY;
90 G->arcs[i][j].info = NULL;
91 }
92 }
93 for(k=0; k<G->arcnum; k++)
94 {
95 printf("输入第%d条弧: 弧尾, 弧头，权值: ", k+1);
96 memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
97 scanf("%s", tmp);
98 sscanf(tmp, "%c,%c,%d", &v1, &v2, &w);
99 i = LocateVex(*G, v1);
100 j = LocateVex(*G, v2);
101 G->arcs[i][j].adj = w;
102 if(IncInfo){
103 //
104 }
105 G->arcs[j][i] = G->arcs[i][j];
106 }
107 return 0;
108 }
109
110 int CreateGraph(MGraph *G)
111 {
112 printf("输入图类型: -有向图(0), -有向网(1), -无向图(2), +无向网(3): ");
113 scanf("%d", &G->kind);
114 switch(G->kind)
115 {
116 case DG:
117 case DN:
118 case UDG:
119 printf("还不支持!\n");
120 return -1;
121 case UDN:
122 return CreateUDN(G);
123 default:
124 return -1;
125 }
126 }
127
128
129 //////////////////////////////////////////////////////////////
130 // 打印邻接矩阵中的信息
131 //////////////////////////////////////////////////////////////
132 void printG(MGraph G)
133 {
134 printf("\n打印邻接矩阵:\n");
135 if(G.kind == DG){
136 printf("类型：有向图；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum);
137 }else if(G.kind == DN){
138 printf("类型：有向网；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum);
139 }else if(G.kind == UDG){
140 printf("类型：无向图；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum);
141 }else if(G.kind == UDN){
142 printf("类型：无向网；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum);
143 }
144 int i = 0, j = 0;
145 printf("\t");
146 for(i=0; i<G.vexnum; i++)
147 printf("%c\t", G.vexs[i]);
148 printf("\n");
149 for(i=0; i<G.vexnum; i++){
150 printf("%c\t", G.vexs[i]);
151 for(j=0; j<G.vexnum; j++){
152 if(G.arcs[i][j].adj == INFINITY){
153 printf("INF\t");
154 }else{
155 printf("%d\t", G.arcs[i][j].adj);
156 }
157 }
158 printf("\n");
159 }
160 }
161
162
163 //---------求最小生成树的算法。(普里姆算法)-----------------------------------------
164
165 //////////////////////////////////////////////////////////////
166 // 定义辅助数组CloseEdge： 记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组。
167 //////////////////////////////////////////////////////////////
168 struct Edge{
169 VertexType adjvex;
170 VRType lowcost;
171 }CloseEdge[MAX_VERTEX_NUM];
172
173 //////////////////////////////////////////////////////////////
174 // 返回辅助数组中， 权值最小的顶点的位置。
175 //////////////////////////////////////////////////////////////
176 int minimum(struct Edge edgelist[], int count)
177 {
178 int ret = -1;
179 int min = INFINITY;
180 int i = 0;
181 for(i=0; i<count; i++) {
182 if ((edgelist[i].lowcost) && (edgelist[i].lowcost < min)) {
183 ret = i;
184 min = edgelist[i].lowcost;
185 }
186 }
187 return ret;
188 }
189
190 //////////////////////////////////////////////////////////////
191 // 采用普里姆算法求最小生成树的算法。
192 //////////////////////////////////////////////////////////////
193 void MinSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType v)
194 {
195 printf("\n采用普里姆算法求邻接矩阵存储的带权的无向网的最小生成树,所求最小生成树的边依次为:\n");
196 int k = -1;
197 int i = 0;
198 int j = 0;
199 k = LocateVex(G, v);
200 //辅助数组初始化
201 for(j=0; j<G.vexnum; j++){
202 if(j!=k)
203 {
204 CloseEdge[j].adjvex = v;
205 CloseEdge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj;
206 }
207 }
208 //初始状态下， U={v}
209 CloseEdge[k].lowcost = 0;
210 //选择其余的G.vexnum-1个顶点
211 for(i=1; i<G.vexnum; i++)
212 {
213 //求出T的下一个结点，第k个顶点
214 k = minimum(CloseEdge, G.vexnum);
215 //输出生成树的边
216 printf("%c, %c\n", CloseEdge[k].adjvex, G.vexs[k]);
217 //第k个顶点并入U集合
218 CloseEdge[k].lowcost = 0;
219 //新顶点并入U后重新选择最小边。
220 for(j=0; j<G.vexnum; j++){
221 if(G.arcs[k][j].adj < CloseEdge[j].lowcost){
222 CloseEdge[j].adjvex = G.vexs[k];
223 CloseEdge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj;
224 }
225 }
226 }
227 }
228
229 int main(int argc, char *argv[])
230 {
231 MGraph G;
232 if(CreateGraph(&G) > -1)
233 printG(G);
234 MinSpanTree_PRIM(G, G.vexs[0]);
235 return 0;
236 }
最小生成树(普里姆算法)
代码运行
/home/lady/CLionProjects/untitled/cmake-build-debug/untitled
输入图类型: -有向图(0), -有向网(1), -无向图(2), +无向网(3): 3
创建一个无向网(带权):
输入顶点数，弧数，其他信息标志位: 6,10,0
输入第1个顶点: a
输入第2个顶点: b
输入第3个顶点: c
输入第4个顶点: d
输入第5个顶点: e
输入第6个顶点: f
输入第1条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,a,1
输入第2条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,b,5
输入第3条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,d,5
输入第4条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,e,6
输入第5条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,f,4
输入第6条弧: 弧尾, 弧头，权值: a,b,6
输入第7条弧: 弧尾, 弧头，权值: b,e,3
输入第8条弧: 弧尾, 弧头，权值: e,f,6
输入第9条弧: 弧尾, 弧头，权值: f,d,2
输入第10条弧: 弧尾, 弧头，权值: d,a,5
打印邻接矩阵:
类型：无向网；顶点数 6, 弧数 10
a b c d e f
a INF 6 1 5 INF INF
b 6 INF 5 INF 3 INF
c 1 5 INF 5 6 4
d 5 INF 5 INF INF 2
e INF 3 6 INF INF 6
f INF INF 4 2 6 INF
采用普里姆算法求邻接矩阵存储的带权的无向网的最小生成树,所求最小生成树的边依次为:
a, c
c, f
f, d
c, b
b, e
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原文地址：https://www.cnblogs.com/aimmiao/p/10092174.html
时间： 2025-01-07 08:18:55