AHOI2009 最小割

题目链接：戳我

题目就是两问，一问是求所有最小割方案中出现至少一次的边（可能割边），一问是求所有最小割方案中一定会出现的边。

其实对于这个问题，我们有结论——

1.跑一遍网络流之后，对残量网络做SCC，满流且边的两个端点不在同一个SCC中的边是可能割边。

2.跑一遍网络流之后，对残量网络做SCC，满流，边的两个端点分别和S和T在同一个SCC里，这个边就是一定会在最小割中出现。

考虑证明......其实我并不能严谨证明，这里就抄一下网上的解释好了

• 证明1：考虑如果减少一条边的容量之后，最小割变小了，证明这条边可能存在于最小割之中。那么反过来，如果(u,v)在同一个SCC中，我们把u→v这条边的容量减小d，那么我们把这个环上的所有边的容量都减少d，仍然满足流量平衡，意味着最大流即最小割不变。反之最大流即最小割改变，那么这条边可能存在于最小割中。
• 证明2：增加一条边的容量，如果最小割增加，意味着这条边必定在最小割中。因为u→是满流的边，所以沿反边u可达S，T可达v 。如果S,u在同一个SCC，T,v在同一个SCC中，说明S到u上还有增广路，v到T上还有增广路，那么u→v的流量增加最小割也会增加，此时u→v必定在最小割中。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,m,tot,t,tt=1,top,cnt,S,T;
int head[MAXN],low[MAXN],dfn[MAXN],st[MAXN],in[MAXN],c[MAXN],cur[MAXN],dis[MAXN];
struct Edge{int nxt,to,dis;}edge[MAXN<<1];
struct Line{int u,v,w;}line[MAXN<<1];
inline void add(int from,int to,int dis)
{
    edge[++tt].nxt=head[from],edge[tt].to=to,edge[tt].dis=dis,head[from]=tt;
    edge[++tt].nxt=head[to],edge[tt].to=from,edge[tt].dis=0,head[to]=tt;
}
inline bool bfs()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memcpy(cur,head,sizeof(head));
    queue<int>q;
    q.push(S);
    dis[S]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
        {
            int v=edge[i].to;
            if(dis[v]==0x3f3f3f3f&&edge[i].dis)
            {
                dis[v]=dis[u]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    if(dis[T]==0x3f3f3f3f) return false;
    return true;
}
inline int dfs(int x,int f)
{
    if(x==T||!f) return f;
    int used=0,w;
    for(int i=cur[x];i;i=edge[i].nxt)
    {
        cur[x]=i;
        if(dis[edge[i].to]==dis[x]+1&&(w=dfs(edge[i].to,min(f,edge[i].dis))))
        {
            used+=w,f-=w;
            edge[i].dis-=w,edge[i^1].dis+=w;
            if(!f) break;
        }
    }
    return used;
}
inline int dinic()
{
    int cur_ans=0;
    while(bfs()) cur_ans+=dfs(S,0x3f3f3f3f);
    return cur_ans;
}
inline void tarjan(int x)
{
    low[x]=dfn[x]=++tot;
    in[x]=1,st[++top]=x;
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(edge[i].dis==0) continue;
        if(!dfn[v]) tarjan(v),low[x]=min(low[x],low[v]);
        else if(in[v]) low[x]=min(low[x],dfn[v]);
    }
    if(dfn[x]==low[x])
    {
        int v;
        cnt++;
        do{
            v=st[top--];
            in[v]=0;
            c[v]=cnt;
        }while(v!=x);
    }
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("ce.in","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&line[i].u,&line[i].v,&line[i].w);
        add(line[i].u,line[i].v,line[i].w);
    }
    dinic();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            tarjan(i);
    for(int i=2;i<=tt;i+=2)
        if(edge[i].dis) printf("0 0\n");
        else
        {
            if(c[edge[i].to]^c[edge[i^1].to]) printf("1 ");
            else printf("0 ");
            if(c[edge[i].to]==c[T]&&c[edge[i^1].to]==c[S]) printf("1\n");
            else printf("0\n");
        }
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/fengxunling/p/10806304.html