费马小定理【数论】

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）

例如：假如a是整数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例，即当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。

首先看一个基本的例子。

令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。

比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。

计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。

这个定理可以用来简化幂的模运算。

比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。

7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。

所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

补充：

费马小定理是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理（数论中的欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况（即

，见于词条“欧拉函数”）。

原文地址：https://www.cnblogs.com/donke/p/10306731.html