[UVa 1326]Jurassic Remains

题解

在一个字符串中，每个字符出现的次数本身是无关紧要的，重要的只是这些次数的奇偶性，因此想到用一个二进制的位表示一个字母（$1$表示出现奇数次，$0$表示出现偶数次）。比如样例的$6$个数，写成二进制后如图所示。

此时，问题转化为求尽量多的数，使得它们的$xor$值为$0$。

最容易想到的方法是直接穷举，时间复杂度为$O(2^n)$，有些偏大。注意到$xor$值为$0$的两个整数必须完全相等，我们可以把字符串分成两个部分：首先计算前$n \over 2$个字符串所能得到的所有$xor$值，并将其保存到一个映射$S$（$xor$值->前$n \over 2$个字符串的一个子集）中；然后枚举后$n \over 2$个字符串所能得到的所有$xor$值，并每次都在$S$中查找。

如果映射用$STL$的$map$实现，总时间复杂度为$O(2^{n \over 2}log_2 n)$，即$O(1.44^n log_2 n)$，比第一种方法好了很多。

 1 //It is made by Awson on 2017.9.20
 2 #include <set>
 3 #include <map>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <string>
 9 #include <cstdio>
10 #include <vector>
11 #include <cstdlib>
12 #include <cstring>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
16 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
17 #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
18 #define LL long long
19 using namespace std;
20
21 int n;
22 char ch[1000];
23 int a[30];
24 map<int, int> mp;
25
26 int bitcount(int x) {
27     int cnt = 0;
28     for (; x; x -= lowbit(x)) cnt++;
29     return cnt;
30 }
31
32 void work() {
33     for (int i = 0; i < n; i++) {
34         scanf("%s", ch);
35         a[i] = 0;
36         for (int j = 0; j < strlen(ch); j++) a[i] ^= 1<<ch[j]-‘A‘;
37     }
38     mp.clear();
39     int mid = n/2;
40     int lim = 1<<mid;
41     for (int i = 0; i < lim; i++) {
42         int tmp = 0;
43         for (int j = 0; j < mid; j++)
44             if (i&(1<<j)) tmp ^= a[j];
45         if (!mp.count(tmp) || bitcount(mp[tmp]) < bitcount(i))
46             mp[tmp] = i;
47     }
48     int ans = 0;
49     lim = 1<<(n-mid);
50     for (int i = 0; i < lim; i++) {
51         int tmp = 0;
52         for (int j = mid; j < n; j++)
53             if (i&(1<<j-mid)) tmp ^= a[j];
54         if (mp.count(tmp) && bitcount(ans) < bitcount(mp[tmp])+bitcount(i)) ans = (i<<mid)|mp[tmp];
55     }
56     printf("%d\n", bitcount(ans));
57     for (int i = 0; i < n; i++)
58         if (ans&(1<<i)) printf("%d ", i+1);
59     putchar(‘\n‘);
60 }
61 int main() {
62     while (~scanf("%d", &n))
63         work();
64     return 0;
65 }