算法二叉搜索树之AVL树

最近学习了二叉搜索树中的AVL树，特在此写一篇博客小结。

1.引言

对于二叉搜索树而言，其插入查找删除等性能直接和树的高度有关，因此我们发明了平衡二叉搜索树。在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉搜索树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。对于N个节点的AVL树，由于树高被限制为lgN，因此其插入查找删除操作耗时为O（lgN）。

2.旋转

在讲解关键步骤插入与删除以前，首先我们先定义一些辅助用的操作：旋转。旋转分为左旋和右旋，其示意图如下：

相信上图已经表示的非常明确，这里就不再细说，值得注意的是：在旋转操作中只有指针的改变，其他属性都保持不变。对旋转前后的树使用中序遍历将得到相同的结果。

3.插入

对于AVL树而言一个关键的操作就是插入操作。往AVL树中插入新的节点可能会引起AVL树的性质被破坏，我们分为以下两种情况来讨论（我们只讨论左子树的情况，右子树的情况只需镜像处理即可）：

1.左左情况（LL）

这种情况如下：

A是失去平衡的节点，其失去平衡的原因在于其左节点B中加入了新左节点C，此时我们对A节点进行右旋操作即可恢复AVL树的平衡。

2.左右情况（LR）

这种情况需要进行两次旋转，如下图所示：

A是失去平衡的节点，其失去平衡的原因在于其左节点B中加入了新右节点C，此时我们需要两次旋转来解决问题，我们先对B节点进行左旋，再对A节点进行右旋即可。

对于RR（右子节点加入新右节点）和RL（右子节点加入新左节点）的情况，只要针对上面的情况进行镜像处理即可。

4.删除

对AVL树的某个节点进行删除后，我们需要判断其父节点是否还符合AVL树的性质，如果否则进行与插入情况类似的旋转处理即可，在此不再赘述。