leetcode[94] Unique Binary Search Trees

给定n，那么从1,2,3...n总共可以构成多少种二叉查找数呢。例如给定3

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST‘s.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \           3     2     1      1   3      2
    /     /       \                    2     1         2                 3

思路：

我们考虑头结点i，那么所有比i小的都在i的左边，比i大的都在i的右边。也就是以i为开头的是i的左边的可能*i右边的可能，然后遍历i从1到n，所有可能相加就是我们的结果。

由公式 h[n] = h[0]*h[n-1] + h[1]*h[n-1] + ... + h[n-1]*h[0]; 可得如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if (n == 1) return 1;
        vector<int> ans(n+1);
        ans[0] = 1;
        ans[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            for (int j = 0; j < i; j++)
            {
                ans[i] += ans[j]*ans[i-j-1];
            }
        return ans[n];
    }
};

其实这是一个卡特兰数，直接用公式C2n选n除以n+1则如下：

class Solution {
public:

    int numTrees(int n) {
        if (n == 1) return 1;
        long long denominator = 1, numerator = 1;
        int cnt = 2 * n;
        while(cnt > n) denominator *= cnt--;
        while(cnt > 0) numerator *= cnt--;
        return denominator/numerator/(n+1);
    }
};

还可以用递归：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n)
    {
        return numTrees(1,n);
    }

    int numTrees(int start, int end)
    {
        if (start >= end)
            return 1;

        int totalNum = 0;
        for (int i=start; i<=end; ++i)
            totalNum += numTrees(start,i-1)*numTrees(i+1,end);
        return totalNum;
    }
};