【leetcode】Distinct Subsequences

问题：给定两个字符串S，T，对于S，可以删除其中的任意多个(包括0)字符，使其得到T。问有多少种删法可以得到T。

举例分析：

S:ababa

T: aba

dp[i][j] : 表示 S 从0 ~ i - 1，T从0~j - 1，所得到的方法数。i,j 表示长度。

初始条件：dp[i][0] = 1,T为空串，而空串总是任意串的字串。即，将S串的所有字符都删掉，就得到T。

状态转移方程：

dp[ i ] [ j ] = dp[ i - 1] [ j - 1] + dp[ i - 1] [ j ]  ； if  S[i - 1] == T[ j - 1]

dp[ i ] [ j ] = dp[i - 1] [ j ]； else.

第一个状态转移方程表示，当S[i - 1] == T[ j - 1]时，我可以将T[j - 1] 认为是从S[i - 1] 得到，也可以认为不是。这是两种情况，最后的结果应该是两种情况的和。

按着状态转移方程，我们通过填表，得到结果如上图所示，其中第一列黑色的 1 为初始状态。每一行相同的颜色是我们通过一次遍历得到的结果。最终的结果为 右下角的 4.

//code

int numDistinct( string S,  string T){

	int lenT = T.size();
	int lenS = S.size();
	if(lenS < lenT)  return 0;
	vector<vector<int> > dp(lenS + 1, vector<int>(lenT + 1, 0));
	for (int i = 0; i <= lenS; ++i)
	    dp[i][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= lenS; ++i)
		for(int j = 1; j <= lenT; ++j)
		{
			if(T[j - 1] == S[i - 1])
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
			else
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
		}

	return dp[lenS][lenT];
}

通过状态转移方程，我们发现, 第 i 行只跟第 i - 1 行有关系，所以可以简化dp表，只用两行来进行迭代。但是这样每一行的第一个元素都很特别，都是 1 ，就使得我们在迭代的时候稍微麻烦些，我们换一下行列。当然我们也可以按列填表，但是我们总是习惯按行处理，至少笔者如此。

如此一来，所有的初始化就在同一行了，

int numDistinct(string S, string T) {

	int lenT = T.size();
	int lenS = S.size();
	if(lenS < lenT)  return 0;

	//dp[0][i] = 1.
	vector<int> dp_pre(lenS + 1, 1);

	for (int i = 1; i <= lenT; ++i)
	{
		vector<int> dp_cur(lenS + 1, 0);
		for (int j = 1; j <= lenS; ++j)
		{
			if(T[i - 1] == S[j - 1])
				dp_cur[j] = dp_pre[j - 1] + dp_cur[j - 1];
			else
				dp_cur[j] = dp_cur[j - 1];
		}
		dp_pre = dp_cur;
	}
	return dp_pre[lenS];

}

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