POJ 2480 求每一个数对于n的最大公约数的和

这里是枚举每一个最大公约数p，那么最后求的是f(n) = sigma(p*phi(n/p))    phi()为欧拉函数

这里可以试着算一下，然后会发现这个是积性函数的

那么只要考虑每一类质数分开算，最后乘在一起就行了

而对于f(p^k) p为素数的求解可以这样考虑

对于前一个f(p^(k-1)) ， 那么f(p^k)相当于把f(p^(k-1)) 中的所有情况都乘上了p ，  然后加上新产生的gcd()=1的情况，这个利用过程中的欧拉函数定理求解

phi(n) = (p1-1)*p1^(k1-1)....+(pn-1)*pn^(kn-1)

这里只能在只含有唯一素数因子的情况下计算，因为如果有别的素数因子，新产生的gcd除了1以外，还有当前乘上的因子p之外的素数因子考虑不到，会使答案变小，

这里大概想想就可以知道了

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <cstdlib>
 7 using namespace std;
 8 #define ll long long
 9 #define N 100000
10 int prime[N+5] , tot , fai[N+5];
11 bool check[N+5];
12
13 void get_prime()
14 {
15     for(int i=2 ; i<=N ; i++){
16         if(!check[i]){
17             prime[tot++] = i;
18             fai[i] = i-1;
19         }
20         for(int j=0 ; j<tot ; j++){
21             if((ll)prime[j]*i>N) break;
22             check[prime[j]*i] = true;
23             if(i%prime[j]==0){
24                 fai[i*prime[j]] = fai[i]*prime[j];
25                 break;
26             }else fai[i*prime[j]] = fai[i]*(prime[j]-1);
27         }
28     }
29 }
30
31 void solve(int n)
32 {
33     /*这里求出一个gcd(i,n)=1的个数，就是求n的欧拉函数phi(n)
34     phi(n) = (p1-1)*p1^(k1-1)....+(pn-1)*pn^(kn-1)
35     */
36     ll ret = 1;
37     for(int i=0 ; i<tot ; i++){
38         if(prime[i]>n) break;
39         int cnt = 0;
40         ll phi = 0 , tmp = 1;
41         while(n%prime[i]==0){
42             if(!cnt) phi = prime[i]-1;
43             else phi = phi*prime[i];
44             tmp = tmp*prime[i]+phi;
45             cnt++;
46             n/=prime[i];
47         }
48         ret = ret*tmp;
49     }
50     if(n>1){
51         ret = ret*(2*(ll)n-1); //这里的n可能是超过1e9的整数，*2有可能超int，要注意
52        // if(ret<0) cout<<"last "<<n<<" "<<(2*n-1)<<" "<<ret<<endl;
53     }
54     printf("%I64d\n" , ret);
55 }
56 int main() {
57    // freopen("a.in" , "r" , stdin);
58    // freopen("out.txt" , "w" , stdout);
59     get_prime();
60     int n;
61     while(~scanf("%d" , &n)){
62         solve(n);
63     }
64 }