poj Minimum（ CutStoer Wagner算法）

Minimum Cut

题目：

给出一张图，要求你删除最小割权和图。

算法分析：

////////////////////     转载 ———
ylfdrib   //////////////////////////////////////////////

一个无向连通网络，去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集；

最小割集当然就权和最小的割集。

可以用最小切割最大流定理：

1.min=MAXINT,确定一个源点

2.枚举汇点

3.计算最大流，并确定当前源汇的最小割集，若比min小更新min

4.转到2直到枚举完毕

5.min即为所求输出min

不难看出复杂度很高：枚举汇点要O(n)，最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度，在复杂网络中O(m)=O(n^2)，算法总复杂度就是O(n^5)；哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法总复杂度也要O(n^4)

所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。

－－－－－－－－－

prim算法不仅仅可以求最小生成树，也可以求“最大生成树”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。

求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法，不提供此算法证明和代码，只提供算法思路：

1.min=MAXINT，固定一个顶点P

2.从点P用“类似”prim的s算法扩展出“最大生成树”，记录最后扩展的顶点和最后扩展的边

3.计算最后扩展到的顶点的切割值（即与此顶点相连的所有边权和），若比min小更新min

4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点（当然他们的边也要合并，这个好理解吧？）

5.转到2，合并N-1次后结束

6.min即为所求，输出min

prim本身复杂度是O(n^2)，合并n-1次，算法复杂度即为O(n^3)

如果在prim中加堆优化，复杂度会降为O((n^2)logn)

这个Stoer-Wagner算法可以参见这篇paper(http://docs.google.com/fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代缩小规模, 算法基于这样一个事实:

对于图中任意两点s和t, 它们要么属于最小割的两个不同集中, 要么属于同一个集.

如果是后者, 那么合并s和t后并不影响最小割. 基于这么个思想, 如果每次能求出图中某两点之间的最小割, 然后更新答案后合并它们再继续求最小割, 就得到最终答案了. 算法步骤如下:

1. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的所有点到A外一点p的权总和.

2. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增).

3. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=G(V), 则继续2.

4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut.

5. 新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边.

6. 若|V|!=1则继续1.

看起来很简单, 每次像做最大生成树一样选最大"边"(注意, 这里其实不是边, 而是已经累计的权值之和, 就当是加权的度好了), 然后把最后进入的两个点缩到一块就可以了. 合并点最多有n-1次, 而不加堆优化的prim是O(n^2)的, 所以最终复杂度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代码, 还可以在稀疏图上用Fibonacci
Heap优化一下, 不过网上转了一圈, 大多都是说能用Fibonacci Heap优化到怎样怎样的复杂度, 真正能自己写出来的恐怕也没几个, 看看uoregon(俄勒冈大学)的一大坨代码就有点寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)

特别注意几个地方, 网上的好几个Stoer-Wagner版本都存在一些小错误:

1. 算法在做"最大生成树"时更新的不是普通意义上的最大边, 而是与之相连的边的权值和, 当所有边都是单位权值时就是累计度.

2. "最后进入A的两点记为s和t", 网上对s有两种解释, 一是在t之前一个加进去的点, 二是t的前趋节点, 也就是最后选择的那条边的另一端. 正解是第一种!

3. 对于稠密图, 比如这题, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的优先队列都会TLE, 还不如老老实实O(n^3).

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>

const int INF = 1 << 30;
const int MAXN = 500 + 10;
int vst[MAXN];
int wet[MAXN];
int combine[MAXN];
int map[MAXN][MAXN];

int S,T,minCut,N;

//最大生成树
void Search(){
    int i,j,Max,x,y;
    memset(vst,0,sizeof(vst));
    memset(wet,0,sizeof(wet));
    S = T = -1;
    for(i = 0;i < N;++i){
        Max = -INF;
        for(j = 0;j < N;++j){
            if(!combine[j] && !vst[j] && wet[j] > Max)
                Max = wet[x = j];
        }
        if(T == x) return;  //有环
        S = T; T = x;
        minCut = Max;
        vst[x] = 1;
        for(j = 0;j < N;++j){
            if(!combine[j] && !vst[j]){
                wet[j] += map[x][j];
            }
        }
    }
}

int Stoer_Wagner(){
    int i,j;
    memset(combine,0,sizeof(combine));
    int ans = INF;
    for(i = 0;i < N - 1;++i){
        Search();
        if(minCut < ans) ans = minCut;    //最小割
        if(0 == ans) return 0;
        combine[T] = 1;
        for(j = 0;j < N;++j){           //合并
            if(!combine[j]){
                map[S][j] += map[T][j];
                map[j][S] += map[j][T];
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int a,b,c,M;
    while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
        memset(map,0,sizeof(map));
        while(M--){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            map[a][b] += c;
            map[b][a] += c;
        }

        printf("%d\n",Stoer_Wagner());
    }
    return 0;
}
时间： 2024-12-28 00:02:13

poj Minimum（ CutStoer Wagner算法）的相关文章

POJ 3041 Asteroids (匈牙利算法)

Asteroids Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 14388 Accepted: 7828 Description Bessie wants to navigate her spaceship through a dangerous asteroid field in the shape of an N x N grid (1 <= N <= 500). The grid contains K astero

POJ 3259 Wormholes SPFA算法题解

本题其实也可以使用SPFA算法来求解的,不过就一个关键点,就是当某个顶点入列的次数超过所有顶点的总数的时候,就可以判断是有负环出现了. SPFA原来也是可以处理负环的. 不过SPFA这种处理负环的方法自然比一般的Bellman Ford算法要慢点了. #include <stdio.h> #include <string.h> #include <limits.h> const int MAX_N = 501; const int MAX_M = 2501; const

POJ 3461 Oulipo KMP算法题解

本题就是给出很多对字符串,然后问一个字符串在另外一个字符串出现的次数. 就是所谓的Strstr函数啦. Leetcode有这道几乎一模一样的题目. 使用KMP算法加速,算法高手必会的算法了. 另外看见讨论说什么使用KMP还超时,最大可能是没有真正理解next table的含义,写了错误的代码,故此虽然自己运行结果正确,但是却没有真正发挥next table的作用,使得算法退化为暴力法了,所以运行正确,但超时. KMP参考: http://blog.csdn.net/kenden23/articl

POJ 2560 Freckles Prime算法题解

本题是求最小生成树. 给出的是坐标节点,然后需要根据这些坐标计算出各个点之间的距离. 除此就是标准的Prime算法了,能使用Prime的基本上都可以使用Kruskal. 这些经典的算法一定要多写,熟练掌握,否则很难灵活运用的. 而且经典的算法之所以为经典,原因之一是没那么容易自己凭空想象出来的,所以要熟练. #include <stdio.h> #include <string.h> #include <queue> #include <float.h> #

[POJ] 3461 Oulipo [KMP算法]

Oulipo Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 23667   Accepted: 9492 Description The French author Georges Perec (1936–1982) once wrote a book, La disparition, without the letter 'e'. He was a member of the Oulipo group. A quote

POJ 3974 Palindrome Manacher算法题解

本题就是求最长的回文子串. 字符串超长,不过限时却是也很长的15秒,最长的限时之一题目了,如果限时短点的话,估计能过的人不多. 使用Mancher算法是可以秒杀的. 模板式的Manacher算法: #include <stdio.h> #include <vector> #include <string.h> #include <algorithm> #include <iostream> #include <string> #inc

POJ 1861 Network (Kruskal算法+输出的最小生成树里最长的边==最后加入生成树的边权 *【模板】)

Network Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 30000K Total Submissions: 14021   Accepted: 5484   Special Judge Description Andrew is working as system administrator and is planning to establish a new network in his company. There will be N hubs in the c

poj 1469 COURSES(匈牙利算法模板）

http://poj.org/problem?id=1469 COURSES Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 19419   Accepted: 7642 Description Consider a group of N students and P courses. Each student visits zero, one or more than one courses. Your task is

快速切题 poj 2485 Highways prim算法+堆 不完全优化

Highways Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 23033   Accepted: 10612 Description The island nation of Flatopia is perfectly flat. Unfortunately, Flatopia has no public highways. So the traffic is difficult in Flatopia. The Fl