大学数学习题精选

1已给出一个函数的表达式 $F(x)$, 其为 $f(x)$ 的原函数, 求 $\dps{\int xf(x)\rd x}$. 解答: $$\beex \bea \int xf'(x)\rd x &=\int x\rd f(x)\\ &=xf(x)-\int f(x)\rd x\\ &=xF'(x)-F(x). \eea \eeex$$ 2已知 $$\bex \sum_{i=1}^{2k}(-1)^{i-1}a_i=0. \eex$$ 试证: $$\bex \ls{n}\sum_{

一.($3\times 15'=45'$) 1.  求 $\dps{\ls{n}(a^n+b^n)^\frac{1}{n}}$, 其中 $a>b>0$. 解答: 由 $$\bex a<(a^n+b^n)^\frac{1}{n}<2^\frac{1}{n}a \eex$$ 及 $\dps{\ls{n}2^\frac{1}{n}=1}$ (参考第二大题第 4 小题), 夹逼原理知原极限 $=a$. 2.  求 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-x}{

$\bf 摘要$: 本文给出了王大凯等编的<图像处理中的偏微分方程方法>第 5.4.1 节的详细论述. $\bf 关键词$: 图像滤波; 方向扩散模型; matlab 编程 1. 模型的建立 从保护图像边缘的观点出发, 我们希望扩散是沿着平行于边缘的切线方向 (即垂直于 $\n I$ 的方向) 进行. 于是得到如下 PDE: $$\bee\label{1:df} I_t=I_{\xi\xi}, \eee$$ 其中 $\xi(\perp \n I)$ 为单位矢量. 我们化简 \eqref{1:d

$\bf 摘要$: 本文给出了王大凯等编的<图像处理中的偏微分方程方法>第 4.4 节的详细论述. $\bf 关键词$: 图像分割; 活动轮廓模型; matlab 编程 1 模型的建立 在图像中, 对象与背景的区别有时表现为平均灰度的明显不同. 由于这类图像既没有明显的边缘 ($\sev{\n I}$ 大), 也缺乏明显的纹理 (texture, 灰度变化有一定的规律, 并形成一定的 patten), 故测地线活动轮廓 (geodesic active contour, GAC, 或 snak

$\bf 题目$. 设 $\calX$ 是一个 $B$ 空间, $f:\calX\to \overline{\bbR}\sex{\equiv \bbR\cap\sed{\infty}}$ 是连续的凸泛函并且 $f(x)\not\equiv \infty$. 若定义 $f^*:\calX^*\to \overline{\bbR}$ 为 $$\bex f^*(x^*)=\sup_{x\in\calX}\sed{\sef{x^*,x}-f(x)}\quad\sex{\forall\ x^*\in \c

设 $\scrX$, $\scrY$ 是 Hilbert 空间, $T\in \scrL(\scrX,\scrY)$, $y_0\in\scrY$, $\alpha>0$. 则 Tikhonov 泛函 $$\bee\label{T} J_\alpha(x)=\sen{Tx-y_0}^2+\alpha\sen{x}^2\quad \sex{x\in \scrX} \eee$$存在唯一最小解 $x^\alpha\in \scrX$, 且 $x^\alpha$ 适合 Euler-Lagrange 方程

同济大学数学系主编, 高等数学 . 第二版, 下册. 2009年, 同济大学出版社. 7 空间解析几何与向量代数 7.5 空间直线及其方程 1(3). 求过点 P(2,-3,3) 且与平面 \pi: x+2y-3z-2=0 垂直的直线 l 的方程. 解答: 直线 l 过点 P(2,-3,3) , 且方向向量与平面法向量 {\bf n}=\sed{1,2,-3} 平行, 为 {\bf s}=\sed{1,2,-3} . 故其方程为 \bex \cfrac{x-2}{1}=\cfrac{y+8}{2

设 $f:(-\infty,+\infty)\to [0,\infty)$ 是双射, 证明: $f$ 有无穷多个间断点. 证明: 用反证法. 若 $f$ 仅有有穷多个间断点 $x_1<x_2<\cdots<x_n$. 则 $f$ 在 $(x_{i-1},x_i)\ (i=1,\cdots,n+1, x_0=-\infty, x_{n+1}=+\infty)$ 上连续单射. 由此不难推出 $f$ 在 $(x_{i-1},x_i)$ 上严格单调\footnote{否则, $\exists\

1 对 $k$ 阶连续可微函数 $f$, $g$, Leibniz 告诉我们 $$\bex D^k_x(fg)=\sum_{s=0}^k\frac{k!}{(k-s)!s!}D^{k-s}_x(f)\cdot D^s_x(g). \eex$$ 2 对复合函数 $f(y(x))$, Fa\'a de Bruno 于 1857 年告诉我们 $$\bee\label{Bruno} D^k_x(f) =\sum \frac{k!}{l_1!l_2!\cdots l_k!} f^{(p)} \sex{\f