一、问题描述
如上图所示，有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数。现请你在此数字三角形中寻找一条从首行到最下行的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99 。
二、问题分析
要求找出一条路径，它经过的数字之和最大。我们可以细化到每一步，每一次往下走都要选择较大的数。
于是可以得出下面的以下的伪代码：
if(当前行是最下行) 当前行到最下行的最大和 = 当前数字的值 else 当前行到最下行的最大和 = 下一行到最下行的最大和 + 当前数字的值
这样的伪代码实在是难读，因此我们需要用抽象的方法思考问题（即变量化）：
- （i , j）：当前的位置（状态）
- a（i , j）：表示第 i 行的第 j 个数字 //i , j > 0
- d（i , j）：从位置（i , j）到最下行的最大和 //状态（i , j）的指标函数，且原问题的解是d（1,1）
于是，上面的伪代码转化为：
if(i == n)
d(i,j) = a(i,j);
else
d(i,j) = max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)} + a(i,j);
我们来看不同的状态之间是怎么转移的：从位置（i , j）出发有两种决策，①往左走，则走到（i+1 , j）后，将要求解d（i+1 , j）；②往右走，则走到（i+1 , j+1）后，将要求解d（i+1 , j+1）。
由于可以在这两个决策中自由选择，所以应选择d（i+1 , j）和d（i+1 , j+1）中较大的那个。这一步正导出了所谓的状态转移方程：
- d（i , j）= max{d（i+1 , j）, d（i+1 , j+1）} + a（i , j）
这个方程已经蕴含了最优质结构性质（全局最优解包含局部最优解）。即如果连“从（i+1 , j）或（i+1 , j+1）出发到最下行”这部分的和都不是最大的，加上a（i , j）之后肯定也不是最大的。
三、解题方式
1. 递归计算
int solve(int i,int j)
{
if(i == n) return a[i][j];
else return max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)) + a[i][j];
}
分析：用直接递归的方法计算状态转移方程，效率往往十分低下。其原因是相同的子问题被重复计算。
2. 递推计算
for(int j=1;j<=n;j++) d[n][j] = a[n][j]; //最后一行 for(int i=n-1;i>=1;i--) for(int j=1;j<=i;j++) d[i][j] = max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]) + a[i][j];
分析：i 是逆序枚举的，所以在计算d[i][j]前，它所需要的d[i+1][j]和d[i+1][j+1]都已经计算出来了。
提示：可以用递推法计算状态转移方程，递推的关键是边界和计算顺序。
3. 记忆化搜索
/* 第一部分：将d全部初始化为-1 */
memset(d,-1,sizeof(d));
/* 第二部分：编写递归函数 */
int solve(int i,int j)
{
if(d[i][j] != -1) return d[i][j]; //判断状态（i,j）是否已经被计算过
if(i == n) return d[i][j] = a[i][j];
else return d[i][j] = max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)) + a[i][j];
}
分析：此程序是递归的，但是它同时把计算结果保存在数组d中。所以，千万别忘记在计算之后把它保存在d[i][j]中。此程序的方法称为记忆化，它虽然不像递推法那样显式地指明了计算顺序，但仍然可以保证每个结点只访问一次。
提示：根据C语言“赋值语句本身有返回值”的规定，可以把保存d[i][j]的工作合并到函数的返回语句中。
提示：可以用记忆化搜索的方法计算状态转移方程。当采用记忆化搜索时，不必事先确定各状态的计算顺序，但需要记录每个状态“是否已经计算过”。