BZOJ3040 最短路 （堆优化dijkstra）

这题不是裸的最短路么？但是一看数据范围就傻了。点数10^6，边数10^7。这个spfa就别想了（本来spfa就是相当不靠谱的玩意），看来是要用堆优化dijkstra了。但是，平时写dijkstra时为了偷懒直接用的STL的priority_queue，没办法改变权值，所以都是直接把pair压进堆里。然后时间复杂度O(mlogm)，空间复杂度O(m)，不靠谱。手写二叉堆？改变权值是O(logn)的，所以时间复杂度O(mlogn)，空间复杂度O(n)，还是要T。看来是需要一种比较牛逼的堆了。

Fibonacci堆就很牛逼，但是难写难调（算导上都说它“编码复杂度高”、“实践价值不大”、“价值主要在学术方面”。所以我学习了一下它的一个好写好调的替代品：Pairing Heap。它的结构其实就是堆有序的树。下面简单说一下它的几种操作（假定为小根堆）。

• findMin() 直接返回树根

• merge(a, b) 把权值较大的挂在权值较小的下面作为子女
• decreaseKey(a, v) 如果a是根节点，则不改变形态，否则断开a和a的父节点，将两树进行merge
• deleteMin() 将根节点删掉，然后将子节点从左到右（最左端为最近加入）分对合并，再将合并后的树从右向左合并。
• delete(a) 执行decreaseKey(a, –oo)，然后执行deleteMin()

论文中说除了删除操作为均摊O(logn)的以外其他的都是均摊O(1)（我只弄懂了论文中写的均摊O(sqrt(n))的上界），于是这对于dijkstra优化就有帮助了。因为对每条边都要执行一次decreaseKey，所以decreaseKey从O(logn)优化为O(1)是相当有效的。现在，总复杂度为O(nlogn＋m)，就可以通过题目了。

BZOJ3040 最短路 （堆优化dijkstra）