careercup-树与图 4.7

4.7 设计并实现一个算法，找出二叉树中某两个结点的第一个共同祖先。不得将额外的结点储存在另外的数据结构中。注意：这不一定是二叉查找树。

解答

本题的关键应当是在Avoid storing additional nodes in a data structure 这句话上。我的理解是，不允许开额外的空间(比如说一个数组)来存储作为中间变量的结点。 虽然我也怀疑它是不是说不允许在结点数据结构Node中加入额外的东西， 比如说父结点的指针。Anyway，我们先从最简单的入手，再一步步加入限制条件。

如果没有任何限制条件，那我觉得最直观的思路就是把其中一个点的所有祖先(包含它自身) 都放入一个哈希表，然后再一步步查找另一个点的祖先结点， 第一个在哈希表中出现的祖先结点即为题目所求。

代码如下，用map模拟(当然，效率比不上哈希表)：

算法：

//要使用额外的空间
BinarySearchTree* findFirstAncestor(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
    if(x==NULL||y==NULL)
        return NULL;
    map<BinarySearchTree*,bool> mp;
    while(x)
    {
        mp[x]=true;
        x=x->parent;
    }
    while(y)
    {
        if(mp[y])
            return y;
        y=y->parent;
    }
    return y;
}

这里用了一个map来存储中间变量，如果题目不允许开额外的辅助空间，那该如何做呢？ 那就老老实实地一个个地试。不断地取出其中一个结点的父结点， 然后判断这个结点是否也为另一个结点的父结点。代码如下：

bool father(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
    if(x==NULL||y==NULL)
        return false;
    if(x==y)
        return true;
    return father(x->left,y)||father(x->right,y);
}
//将每一x的祖先拿出来判断是否为y的祖先，从下到上的方法
BinarySearchTree* find_first_ancestor(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
    while(x)
    {
        if(father(x,y))
            return x;
        x=x->parent;
    }
    return x;
}

让我们把条件再限制地严苛一些，如果数据结构Node中不允许有指向父亲结点的指针， 那么我们又该如何处理？其实也很简单，首先根结点一定为任意两个结点的共同祖先， 从根结点不断往下找，直到找到最后一个这两结点的共同祖先，即为题目所求。代码如下：

BinarySearchTree* find_ancestor(BinarySearchTree *root,BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y,BinarySearchTree *&ret)
{
    if(x==NULL||y==NULL)
        return NULL;
    if(root&&father(root,x)&&father(root,y))
    {
        ret=root;
        find_ancestor(root->left,x,y,ret);
        find_ancestor(root->right,x,y,ret);
    }
    return ret;
}

这里用到了递归，ans最终保存的是这两个结点从根结点算起最后找到的那个祖先。 因为从根结点开始，每次找到满足要求的结点，ans都会被更新。

C++完整代码：

#include<iostream>
#include<new>
#include<map>
using namespace std;

struct BinarySearchTree
{
    int elem;
    BinarySearchTree *parent;
    BinarySearchTree *left;
    BinarySearchTree *right;
    BinarySearchTree(int x):elem(x),parent(NULL),left(NULL),right(NULL) {}
};

void insert(BinarySearchTree *&root,int z)
{
    BinarySearchTree *y=new BinarySearchTree(z);
    if(root==NULL)
    {
        root=y;
        return;
    }
    else if(root->left==NULL&&z<root->elem)
    {
        root->left=y;
        y->parent=root;
        return;
    }
    else if(root->right==NULL&&z>root->elem)
    {
        root->right=y;
        y->parent=root;
        return;
    }
    if(z<root->elem)
        insert(root->left,z);
    else
        insert(root->right,z);
}

void createBST(BinarySearchTree *&root)
{
    int arr[10]= {29,4,6,1,8,3,0,78,23,89};
    for(auto a:arr)
        insert(root,a);
}

void inorder(BinarySearchTree *root)
{
    if(root)
    {
        inorder(root->left);
        cout<<root->elem<<" ";
        inorder(root->right);
    }
}

BinarySearchTree* findMin(BinarySearchTree *root)
{
    if(root==NULL||!root->left)
        return root;
    while(root->left)
    {
        root=root->left;
    }
    return root;
}

BinarySearchTree* findMax(BinarySearchTree *root)
{
    if(root==NULL||!root->right)
        return root;
    while(root->right)
    {
        root=root->right;
    }
    return root;
}

BinarySearchTree* findProcessor(BinarySearchTree* x)
{
    if(x->left)
        return findMax(x->left);
    BinarySearchTree *y=x->parent;
    while(y&&y->left==x)
    {
        x=y;
        y=x->parent;
    }
    return y;
}

BinarySearchTree* findSuccessor(BinarySearchTree *x)
{
    if(x->right)
        return findMin(x->right);
    BinarySearchTree *y=x->parent;
    while(y&&y->right==x)
    {
        x=y;
        y=x->parent;
    }
    return y;
}
//要使用额外的空间
BinarySearchTree* findFirstAncestor(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
    if(x==NULL||y==NULL)
        return NULL;
    map<BinarySearchTree*,bool> mp;
    while(x)
    {
        mp[x]=true;
        x=x->parent;
    }
    while(y)
    {
        if(mp[y])
            return y;
        y=y->parent;
    }
    return y;
}
bool father(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
    if(x==NULL||y==NULL)
        return false;
    if(x==y)
        return true;
    return father(x->left,y)||father(x->right,y);
}
//将每一x的祖先拿出来判断是否为y的祖先，从下到上的方法
BinarySearchTree* find_first_ancestor(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
    while(x)
    {
        if(father(x,y))
            return x;
        x=x->parent;
    }
    return x;
}
//从上到下的方法
BinarySearchTree* find_ancestor(BinarySearchTree *root,BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y,BinarySearchTree *&ret)
{
    if(x==NULL||y==NULL)
        return NULL;
    if(root&&father(root,x)&&father(root,y))
    {
        ret=root;
        find_ancestor(root->left,x,y,ret);
        find_ancestor(root->right,x,y,ret);
    }
    return ret;
}

BinarySearchTree* search(BinarySearchTree* head, int x)
{
    if(head == NULL) return NULL;
    if(x == head->elem)
        return head;
    else if(x <= head->elem)
        return search(head->left, x);
    else
        return search(head->right, x);
}
int main()
{
    BinarySearchTree *root=NULL;
    createBST(root);
    inorder(root);
    cout<<endl;
    BinarySearchTree *n1 = search(root, 0);
    BinarySearchTree*n2 = search(root, 4);
    cout<<n1->elem<<" "<<n2->elem<<endl;
    BinarySearchTree *ans = find_first_ancestor(n1, n2);
    cout<<ans->elem<<endl;
    BinarySearchTree *ans1 = NULL;
    find_ancestor(root, n1, n2, ans1);
    cout<<ans1->elem<<endl;
    BinarySearchTree *pre=findProcessor(n2);
    cout<<pre->elem<<endl;
    BinarySearchTree *post=findSuccessor(n2);
    cout<<post->elem<<endl;
    return 0;
}