调和（级）数可以指跟约数和有关的整数欧尔调和数。在数学上，第n个调和数是首n个正整数的倒数和，即
它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的
倍。它可以推广到正整数的倒数的幂之和，即
。
调和数的性质
根据定义，调和数满足递推关系
它也满足恒等式
计算
对于第n项调和数，有以下公式
设:
，由此得到
对于调和数
，当n不是太大时，可以直接计算。
当n特别大时，可以进行估算。
因为
由此得到
当n越大时，估算越精确。
更精确的估算是
其中
是第k项伯努利数。
由估算看来，调和数是发散的，即： Hn 在n趋于无穷时没有极限
很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调合级数也是发散的。
广义调和数
广义调和数满足
由此，我们得到
对于任意两个正整数p和q，并且p＜q，我们有
微积分
对于每一个大于0的x，有
由此，得
对于每一个n，有
其他数列
根据定义，其他类似于调和数的数列有以下计算方法：
时间： 2024-11-05 16:00:25