正弦稳态电路的分析

RLC串联电路如图(a)所示，其中R=15Ω，L=12mH，C=5μF，端电压uS=100(2^(1/2))cos(5000t)V。

试求：

(1)电路中的电流i（瞬时表达式）和各元件的电压相量：

(2)电路的等效导纳和并联等效电路。

解(1)计算各部分阻抗为：

　　Z_R=15Ω

　　Z_L=jωL=j60Ω

　　Z_C=-j(1/ωC)=-j40Ω

　　Z_eq=Z_R+Z_L+Z_C=(15+j20)Ω

　　　　=25∠53.13°Ω

电流相量为

　　I^·=U^·_S/Z_eq=(100∠0°)/(25∠53.13°)A=4∠-53.13°A

各元件电压相量为

　　U·R=R I^·=60∠-53.13°V

　　U_L=jωL I^·=240∠36.87°V

　　U^·_C=-j(1/ωC) I^·=160∠-143.13°V

/*Y的代数形式为

　　Y=G+jB

G为等效电导（分量），B为等效电纳（分量）。B>0时Y称为容性导纳，B<0时称为感性导纳。

　　用导纳表示的欧姆定律有

　　　　I·=(G+jB)U·

等效电路要用等效电导与等效电感Leq或等效电容Ceq的并联形式表示，并有

　　　　Ceq=B/ω (B>0,容性电纳)　　Leq=1/(|B|ω) (B<0,感性电纳)*/

　　(2)电路的等效导纳Y_eq为

　　　　Y_eq=1/Z_eq=1/25∠-53.13°S=(0.024-j0.032)S　　//G=0.024S,B=0.032T,

等效电导G=0.024S，等效电感Leq=1/(|B|ω)=6.25mH。//ω=5000,

　　等效电路如图(b)所示。p224

电路的相量图

画出p224电路的相量图

/*在复平面上先画出电流相量I，然后从原点O起，相对于电流相量I，按平移求和法则，逐一画出KVL方程右边各电压相量。

例如，画出UR=RI（与I同相），然后，再从UR的末端画出下一个电压相量，例如UL=jωL I(超前 I 90°),依次类推。

　　复数ejθ=1∠θ是一个模等于1，辐角为θ的复数。任意复数A=|A|ejθ，乘以ejθ等于把复数A逆时针旋转一个角度θ，而A的模值不变，所以ejθ称为旋转因子。*/

图(a)中已知uS=200(2^(1/2))cos(314t+π/3)V，电流表A的读数为2A，电压表V1、V2的读数均为200V。求参数R、L、C，并作出该电路的相量图。

解 根据题意可设：U·S=200∠60V（已知），U1=200∠Φ1V，U2=200∠Φ2V，I=2∠ΦiA。

根据(a)电路可列出如下电压、电流关系和电路方程

　　200∠60°=200∠Φ1+200∠Φ2　　(KVL)

　　-j(1/ωC)=U·2/I·=100∠(Φ2-Φi)　　//

　　Z₁=U^·₁/I=R+jωL=100∠(Φ₁-Φ_i)

根据KVL作电路的电压相量图，如图(b)所示。

(1)Φ1=120°，Φ2=0°。

　　Φ2-Φi=-90°→Φi=90°

(2)Φ1=0°，Φ2=120°。

　　Φ2-Φi=-90°→Φi=210°，Φ1-Φi=-210°

　　-210°≠90° 这与Z₁=U^·₁/I=R+jωL=100∠(Φ₁-Φ_i)相矛盾 这种情况不存在

阻抗三角形：Z=100∠φZΩ，Z1=100∠φZ1Ω，ZC=-j100Ω，有

　　　　100∠φ=100∠φZ1-j100

如图(c)所示，根据该图可得

(1)φZ=-30°，φZ1=30°。

(2)φZ=-150°，φZ1=150°。