USACO Section1.5 Number Triangles 解题报告

　　　　numtri解题报告 —— icedream61 博客园（转载请注明出处）
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【题目】
　　有一个数字的金字塔，形状如下
　　　　    7
　　　　   3 8
　　　　  8 1 0
　　　　 2 7 4 4
　　　　4 5 2 6 5
　　要从顶端开始走，每次只能向左下或者右下走，求所经过的数字之和最大值。
【数据范围】
　　1<=R<=1000
　　0<=每个数<=100
【输入样例】
　　5
　　7
　　3 8
　　8 1 0
　　2 7 4 4
　　4 5 2 6 5
【输出样例】
　　30
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【分析】
　　DP。
　　设num[i][j]为i行j列的数，d[i][j]是从1行1列走到i行j列的当前最优解。
　　　　d[1][1]=num[1][1];
　　　　d[i][j]=0; // i>1 or j>1
　　从1行1列走到R行某列的最大值，可以直接递归出来，状态转移方程如下：
　　　　当i==1,j>=2时，d[i][j]=d[i-1][j]+num[i][j];
　　　　当i>=2,j>=2时，d[i][j]=max{d[i-1][j]+num[i][j],d[i-1][j-1]+num[i][j]};
　　但本题，递归有边界情况，比较麻烦，递推更方便，状态转移方程如下：
　　　　当i>=2,2<=j<R时
　　　　　　d[i+1][j]=max{d[i+1][j],d[i][j]+num[i+1][j]};
　　　　　　d[i+1][j+1]=max{d[i+1][j+1],d[i][j]+num[i+1][j+1]};
　　最终，只要扫过d[R][1~R]取得最大值输出即可。
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【总结】
　　一遍AC。

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【代码】

 1 /*
 2 ID: icedrea1
 3 PROB: numtri
 4 LANG: C++
 5 */
 6
 7 #include <iostream>
 8 #include <fstream>
 9 using namespace std;
10
11 int R;
12 int num[1001][1001],d[1001][1001];
13
14 void change(int &r,int x) { if(x>r) r=x; }
15
16 int main()
17 {
18     ifstream in("numtri.in");
19     ofstream out("numtri.out");
20
21     in>>R;
22     for(int i=1;i<=R;++i)
23         for(int j=1;j<=i;++j) in>>num[i][j];
24
25     d[1][1]=num[1][1];
26     for(int i=1;i<R;++i)
27         for(int j=1;j<=i;++j)
28         {
29             change(d[i+1][j],d[i][j]+num[i+1][j]);
30             change(d[i+1][j+1],d[i][j]+num[i+1][j+1]);
31         }
32
33     int maxSum=0;
34     for(int j=1;j<=R;++j) change(maxSum,d[R][j]);
35     out<<maxSum<<endl;
36
37     in.close();
38     out.close();
39     return 0;
40 }