扩展欧几里德算法及其证明

扩展欧几里德算法：

已知a, b求解一组x，y，使它们满足等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。

扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

证明：

ax+by=gcd(a,b);

1. (1) a = 0，ax+by = gcd(a,b) = gcd(0,b) = b,

此时x = 0(此时x的值是任意的)，y = 1；

(2)b = 0, ax + by = gcd(a,b) = gcd(a,0) = a,

此时x = 1，y = 0（此时y的值是任意的）；

2.a和b都不为0时

ax1 + by1 = gcd(a, b)

由欧几里德定理：gcd(a,b) = gcd(b, a%b)得

ax1 + by1 = gcd(a,b) = gcd(b, a%b) 即：

bx2 + a%by2 = gcd(b, a%b) = ax1 + by1

a % b = a - a/b*b;

ax1 + by1 = bx2 + (a - a/b*b)y2;

=bx2 + ay2 - a/b*b*y2;

=ay2 + b(x2-a/b*y2);

所以：x1 = y2, y1 = x2 - a/b*y2

扩展欧几里德算法代码：

void gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        r = a;//r为a、b的最大公约数
        return ;
    }
    gcd(b, a%b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
}