【POJ】2096 Collecting Bugs

http://poj.org/problem?id=2096

题意:s个系统n种bug,每天找出一个bug,种类的概率是1/n,系统的概率是1/s。问:每个系统至少找出一个bug;每种类的bug都被找出。的期望天数(0<n, s<=1000)

#include <cstdio>
using namespace std;
double d[1005][1005];
int n, s;
double D;
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &s);
	d[s][n]=0;
	D=s*n;
	for(int i=s; i>=0; --i) for(int j=n; j>=0; --j) if(!(i==s&&j==n))
		d[i][j]=((d[i+1][j]*(s-i)*j+d[i][j+1]*i*(n-j)+d[i+1][j+1]*(s-i)*(n-j))/D+1)/(1-i*j/D);
	printf("%.4f\n", d[0][0]);
	return 0;
}

  

设$d(i, j)$表示已经找到了$i$个系统的bug,$j$种bug还需要的期望天数,显然答案是$d(0, 0)$

考虑转移:由于$d(i, j)$可以转移到5种子集,且互斥,转移如下:

  1. 权为1,概率为1。(表示今天找到的bug)
  2. 权为$d(i, j)$,概率为$i*j/s/n$。(表示由找到了一个旧系统且是旧种类的bug的状态转移过来)
  3. 权为$d(i+1, j)$,概率为$(s-i)*j/s/n$。(表示由找到了一个新系统但是是旧种类的bug的状态转移过来)
  4. 权为$d(i, j+1)$,概率为$i*(n-j)/s/n$。(表示由找到了一个旧系统但是是新种类的bug的状态转移过来)
  5. 权为$d(i+1, j+1)$,概率为$(s-i)*(n-j)/s/n$。(表示由找到了一个新系统且新种类的bug的状态转移过来)

发现是不是和一般的dp不同了呢?转移中有自己!哈哈,这就是期望dp的精髓所在= =

那么我们可以移项了= =(这样就不会无限递归,体现了数学的奥秘= =)最后得到:

$$d(i, j) = (ijd(i, j)+(s-i)jd(i-1, j)+i(n-j)d(i, j-1)+(s-i)(n-j)d(i-1, j-1)+1)/(n*s)/(1-ij/(n*s))$$

可能你会说,为什么要设“还需要的期望天数”而不是“转移到当前状态的期望天数”呢?因为在自己对自己的转移中,假设那样设状态的话,答案显然是$d(s, n)$对吧,可是你会发现转移方程除数变成0了!因此状态转移不过来...

而前者由于初始状态显然是$d(s, n)=0$,就不会出现除数为0也就是求极限的步骤啦= =,因此可以这样搞下去啦= =。(其实上边的状态不是不可做,可以无限递归,其实就是极限= =,换一种方式设状态就是避免了陷入求极限)

时间: 2024-11-02 23:12:37

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