前言
等比数列的前\(n\)项的求和公式的推导方法，就是错位相减求和法。
适用范围
①等比数列[基本]；
②差比数列[拓展]；错位相减求和法适用于由等差数列\(\{a_n\}\)和等比数列\(\{b_n\}\)对应相乘得到的差比数列\(\{a_n\cdot b_n\}\)；比如有题目给定一个数列\(\{\cfrac{n}{2^n}\}\)，我们先将其适当变形为\(\{n\cdot (\cfrac{1}{2})^n\}\)，则可以看出其第一个因子数列\(a_n=n\)就是个等差数列，第二个因子数列\(b_n=(\cfrac{1}{2})^n\)就是个等比数列；故数列\(\{a_n\cdot b_n\}\)就是差比数列$；
- 如何判断一个数列是等差还是等比数列？
①学会将所给的数列的通项公式找出来；
②从函数的角度看，若数列是关于\(n\)的一次型函数，则此数列一定为等差数列；
③从函数的角度看，若数列是关于\(n\)的指数型函数，则此数列一定为等差数列；
引例求和：\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\)；
分析：认真观察此数列，把数列的每一项由乘号分隔开，都人为的拆分为两项，
每一项的第一个因子构成数列为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(\cdots\)，\(n\)，是个等差数列，
每一项的第二个因子构成数列为\(2\)，\(2^2\)，\(2^3\)，\(\cdots\)，\(2^n\)，是个等比数列，
故上述求和是个差比数列求和，应该使用错位相减求和法；
或者你的函数知识掌握的不错的话，则一眼就能认出来其通项公式为\(n\cdot 2^n\)，故其第一个因子数列\(a_n=n\)就是个等差数列，第二个因子数列\(b_n=2^n\)就是个等比数列；故
上述求和是个差比数列求和，应该使用错位相减求和法，
相关公式
①等差数列的\(S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac{n(n-1)\cdot d}{2}\)
②等比数列的\(S_n=\left\{\begin{array}{l}{na_1，q=1}\\{\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1-a_nq}{1-q}，q\neq 1}\end{array}\right.\)
③\(1+2+3+\cdots+ n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)；
④\(1+3+5+\cdots +(2n-1)=\cfrac{[1+(2n-1)]\cdot n}{2}=n^2\)，注意求和项数为\(n\)项；
⑤\(2+4+6+\cdots +2n=\cfrac{(2+2n)\cdot n}{2}=n^2\)，注意求和项数为\(n\)项；
⑥\(1^2+2^2+3^2+\cdots+ n^2=\cfrac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\)；
⑦\(1^3+2^3+3^3+\cdots+ n^3=[\cfrac{n(n+1)}{2}]^2\)；
⑧由\(a_{n+2}-a_n=2\)可知，数列中奇数项成等差，公差为\(2\)；偶数项成等差，公差为\(2\)；
⑨由\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2\)可知，数列中奇数项成等比，公比为\(2\)；偶数项成等比，公比为\(2\)；
廓清认知
- 求和第一步： 欲求和，先认清数列的通项公式，以\(a_n\)为“抓手”。
如数列\(1\)，\(\cfrac{1}{1+2}\)， \(\cfrac{1}{1+2+3}\)，\(\cdots\)，\(\cfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)求和时，
必须首先认识到通项公式：\(a_n=\cfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)，
- 求和第二步：认清结构，合理选择恰当的方法，
典例剖析
例1求和\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\)；
分析:首先认清求和的数列的通项公式\(a_n=n\cdot2^n\)，是个差比数列，其中等比数列的公比为\(2\)，
下来按部就班的使用“错位相减法”求和就成了。解如下：
\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\) \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)\)
\(2S_n=1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+(n-1)\cdot2^n+n\cdot 2^{n+1}\) \(\quad\quad\quad\quad(2)\)
具体的错位方法如下图说明：
tab{color:red; font-size:18px ;font-family:楷体;text-align:left }
tr.wwh{font-size:18px; font-family:楷体; text-align:left }
| $S_n=$ | $1\cdot 2+$ | $2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n$ | |
|---|---|---|---|
| $2S_n=$ | $1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots+(n-1)\cdot 2^n$ | $+n\cdot2^{n+1}$ | |
| 第一部分，有1项 | 第二部分，有1项 | 第三部分，有$n-1$项 | 第四部分，有1项 |
(1)-(2)得到：
\(-S_n=1\cdot2+[1\cdot2^2+1\cdot2^3+\cdots+1\cdot2^n]-n\cdot2^{n+1}\) \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad(3)\)
再次整理为
\(-S_n=\cfrac{2\cdot(1-2^n)}{1-2}-n\cdot2^{n+1}\) \(\hspace{4cm}\) \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(4)\)
最后整理为
\(S_n=(n-1)\cdot2^{n+1}+2\)
对应练习
练3【2018安徽淮南一模】已知数列\(\{a_n\}\)为等差数列，且\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=\cfrac{2}{3}b_n+\cfrac{1}{3}\)，
(1).求数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的通项公式；
提示：\(a_n=2n-1\)，\(b_n=(-2)^{n-1}\)；
(2).设\(c_n=a_n\cdot |b_n|\)，求数列\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)；
提示：\(c_n=(2n-1)2^{n-1}\)，\(T_n=(2n-3)2^n+3\)；
练4已知等比数列\(\{a_n\}\)的各项都为正数，且当\(n\ge 3\)时，\(a_4\cdot a_{2n-4}=10^{2n}\)，则数列\(lga_1\)，\(2lga_2\)，\(2^2lga_3\)，\(2^3lga_4\)，\(\cdots\)，\(2^{n-1}lga_n\)的前\(n\)项和\(S_n\)等于_________。
提示：\(a_n=10^n\)，通项\(b_n=2^{n-1}lga_n=n\cdot 2^{n-1}\)，差比数列，\(S_n=(n-1)\cdot 2^n+1\)；
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