1.非线性处理与线性处理的区别
上一篇博文的内容，是关于均值滤波器的。比如说像算术均值滤波器，几何均值滤波器。这以类型的滤波器的常常被用于剔除某些不需要的频率成分，或者选择需要的频率成分，从而达到去噪的目的。这样的滤波器，被称为线性滤波器。
然而，还有一些特殊滤波器，他们被称为非线性滤波器。其代表为中央值滤波器。所谓中央值滤波器，就是将一定范围内的数据(对于图像而言，是像素的灰度值)进行排序，选择中央值作为滤波器的输出。
中央值滤波器的目的并不是频率成分的选择，而是求root信号。关于root信号的定义，[文献1]中是这样给出的。
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定义：对于任意信号，使用中央值滤波器进行有限次处理，直到所得到的限号不变为止。中央值滤波器处理前后，如果这个信号列没有任何变化，那么将这个信号列称为这个滤波器的root信号。
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对于中央值滤波器来讲，可以完美去除被椒盐噪声污染的root信号。对于root信号，有如下的性质。对于以下定理的证明与详细说明，请参考[文献2][文献3]。
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定理1：如果信号列{x(i)}是单调递增或单调递减的，那么对于任何尺寸的中央值滤波器，这个信号列都是root信号。
定理2：如果信号列{x(i)}是在从i开始的m个信号之间的局部单调信号的话，那么对于尺寸为N=2M+1(M<=m-2)的中央值滤波器，这样的信号为这个滤波器的root信号。
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2.几个典型的非线性滤波器
2.1 中央值滤波器 (Median Filter)
正如第一节所叙述的，中央值滤波器可以有效去除椒盐噪声，并且不会使得图像模糊。我们将一副图像染上椒盐噪声，然后使用不同尺寸的中央值滤波器去进行处理。所得的结果的画质使用SSIM去评价。
首先，将图像染上盐粒密度为0.15，胡椒密度为0.15的椒盐噪声，使用3x3,5x5,7x7和9x9四种不同尺寸的中值滤波器去处理图像。所得到的结果，如下表所示。
由上图所示，可以看出，所用滤波器尺寸不同，得到的结果是不同的，尺寸较大的滤波器得到了不太好的结果。随着循环次数的增加，图像的SSIM逐渐变化，最后趋近于稳定。下面是循环次数为30时候，4种尺寸滤波器得到的结果。
为了验证噪声与实验结果的影响，将图像染上盐粒密度为0.35，胡椒密度为0.35的椒盐噪声，在进行滤波实验，可以得到如下曲线。
实验结果给出，尺寸较小的的中值滤波器，其收敛到root信号较为缓慢，其次，对于高噪声的图像，其修复结果是不太好的。
总结上述实验，可以得到三个有用的结论。
1.中央值滤波器在处理过程中，不断在寻找root信号。反复数回之后，其结果收敛，基本不改变。
2.对于不同的图像，不同的噪声，最适合本幅图像的中央值滤波器的尺寸是不同的。并不是尺寸越小越好。
3.尺寸小的滤波器，收敛速度慢。反之，尺寸大的滤波器，收敛较快。
2.2 自适应中央值滤波器
我们要很好的使用中央值滤波器，只有一个要点！就是找一个最适合的滤波器尺寸，使得原图就是这个滤波器的root信号，那么，就可以得到一个完美的结果（当然，最适合的滤波器是不存在的）。那么，这里就可以有个想法了，在执行滤波器操作的时候，尽可能多的尝试各种尺寸，选择一个最适合的，让原图很接近这个尺寸的滤波器的root信号。这样的话，就可以得到一个不错的结果了。
当然，之对于椒盐噪声的话，还可以加入这样一个功能，由于噪声的灰度值是已知的(盐粒噪声为1，胡椒噪声0)，那么只有当中央值不是0或者1的时候，滤波器生效，否则，扩大滤波器尺寸。
归纳上述思想，可以得到如下的伪代码。
START: S_xy = read(f(x,y),[size_S_xy]);
z_min = min(S_xy);
z_max = max(S_xy);
z_med = median(S_xy);
LOOP A : A_1 = z_med - z_min;
A_2 = z_med - z_max;
if ((A_1 >0) and (A_2 < 0))
goto LOOP B;
else size_S_xy++;
goto START;
if (size_S_xy <= size_max)
g(x,y) = z_med;
goto NEXT;
LOOP B : B_1 = f(x,y) - z_min;
B_2 = f(x,y) - z_max;
if ((B_1 >0) and (B_2 < 0))
g(x,y) = f(x,y) ;
goto NEXT;
else g(x,y) = z_med;
goto NEXT;
NEXT : x,y移动到下一个像素点
if (x > x_max)and(y>y_max)
return;
else goto START;
来看看这个滤波器的效果，将图像加一个很强的噪声椒盐噪声。盐粒密度为0.3，胡椒密度为0.3。同时将同样的图像，使用5x5的中央值滤波器。两个滤波器的不同，还是很容易看出来的。
2.3 最大值滤波器与最小值滤波器
最大值滤波器与最小值滤波器这两个滤波器，跟中央值滤波器有些类似。同样是一个目的，用于寻找root信号，只不过，最大值滤波器可以用于去除盐粒噪声，相反，最小值滤波器可以用于取出胡椒噪声。同样的，最大值与最小值滤波器不适用于去除，同时含有盐粒噪声与胡椒噪声的图片。
由于这个很简单，结果就不贴了。
2.4 中点滤波器(midpoint filter)
中点滤波器，糅合了均值滤波器和非线性的排序处理。这样的滤波器对于去除高斯噪声与均匀噪声有很好的效果。
我们使用这个滤波器，与平均滤波器做个比较吧。其结果显示在下图。
图片上，纵轴表示画质SSIM，横轴表示噪声的方差。绿线表示中点滤波器，红线表示算术滤波器。可以看出，均匀噪声上，中点滤波器的性能还是优于算术平均滤波器的。(当然，这可能跟选用的评价图像有关，但是基本是这个趋势)。
2.4 修正的阿尔法均值滤波器
从很小的时候开始，对唱歌节目就有这样的一个映像，评委打分的时候，总是要去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后求均值。这个是个什么样的原理呢？其实这是一个很典型的滤波器，可以更好的反应一个选手的水平。
在图像处理领域，也有一个类似的处理方法，其表达式如下。
简单的理解一下这个滤波器，首先，我们将滤波范围 
的
个数据进行排序，从大到下的顺序去除
个数据，从小到大的顺序去除个数据。将剩下的数据计算均值。
这样的滤波器，很擅长去除椒盐噪声与其他类型噪声一起污染过的图片。依然是实验，首先将图片染上盐粒密度为0.1，胡椒密度为0.1的椒盐噪声。然后，再将这幅图像染上高斯噪声。在将图片进行去噪。得到的结果如下所示。
可以出，对于复数的噪声，这样的滤波器的效果是最好的。
3.自适应中值滤波器的Matlab代码
由于本次代码都比较简单，主要是概念上的理解，所以，代码我也就贴个自适应滤波器的代码就完事吧！
下一篇博文，会说到去卷积处理。
参考文献
[文献1]非線形ディジタル信号処理 ,棟安実治 ?田口亮 著,システム制御情報学会,朝倉書店,1999年03月20日
[文献2]Tyan, S. G. "Median filtering: Deterministic properties." Two-Dimensional
Digital Signal Prcessing II. Springer Berlin Heidelberg, 1981. 197-217.
[文献3]Gallagher Jr N C, Wise G L. A theoretical analysis of the properties of median filters[J]. Acoustics,
Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on, 1981, 29(6): 1136-1141.
原文发于博客：http://blog.csdn.net/thnh169/
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2014 - 7 - 17 修正了一些格式错误
[数字图像处理]图像去噪初步(2)--非线性滤波器