中国剩余定理详解

中国剩余定理

孙子算经里有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

翻译成现在的数学问题就是 x%3 == 2，x%5 == 3，x%7 ==  2,求x 的值；

遇到这这样一个问题很多C语言初学者不禁会想到用暴力可以算出来，还要这样一个定理干嘛？

如果数据相当大呢？计算机就会计算相当困难。然而这个问题早早的就被孙子解决了。

求出3,5,7 两两中的最小公倍数lcm，k*lcm与另一个数mod等于1(找出一个符合条件的k）；

用k*lcm*另一个没有在lcm中的数的等式的余数 
[（有点绕）就是 lcm(3,5),另一个数就是7 在x%7==2 的等式中的余数 就是2 即找出这k*lcm（3,5）*2]

求法(剩余定理思想)：

Lcm(3,5) = 15;   // lcm是最小公倍数

Lcm(3,7) = 21;

Lcm(5,7) = 35;

a*15%7 == 1;

b*21%5 == 1;

c*35%3 == 1;

可求得a,b,c的值为1,1,2;

我们可得15%7 == 1 , 21%5 == 1 , 70%3 == 1；

Ans = (15*2 + 21*3 + 70*2) % lcm(3,5,7);

Ans = 23;

再加一个例题：

一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

题中3、4、5三个数两两互质。 则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40； 使15被4除余1，用15×3=45； 使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1＋45×2＋36×4=274，

因为，274>60；

所以，274%60 = 34，就是所求的数。

粘个剩余定理题   
POJ 1006 http://poj.org/problem?id=1006

题目又上角有中文意思

这道题的解法就是：

已知(ans+d)%23=a;   (ans+d)%28=b;   (ans+d)%33=c

使33×28×X被23除余1，用33×28×8 = 5544；

使23×33×Y被28除余1，用23×33×19 = 14421；

使23×28×Z被33除余1，用23×28×2 = 1288。

于是X==8, Y==19, Z==2;

因此有（5544×a + 14421×b + 1288×c）% lcm(23,28,33) =ans + d

又23、28、33互质，即lcm(23,28,33) = 21252;

所以有ans =（5544×a+14421×b+1288×c-d）% 21252

AC代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{
	int a, b, c, d,cnt=1;
	int ans;
	while (scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d)!=EOF&&a!=-1)
	{
		ans = (a * 5544 + b * 14421 + c * 1288) % 21252;
		ans -= d;
		if (ans<=0) ans += 21252;
		if(ans>21252) ans=21252;
		printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", cnt++, ans);
	}
	return 0;
}

这个题暴力也能过

暴力AC代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{
    int a, b, c, d,cnt=1,i;
    while (scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d)!=EOF&&a!=-1)
    {
        for(i=1; ; i++)
            if((i-a)%23==0&&(i-b)%28==0&&(i-c)%33==0&&i>d)
            {
                break;
            }
            printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", cnt++, i-d);
    }
    return 0;
}

中国剩余定理详解