博弈论——一周目小结

博弈论研究第一周目。

博弈论有很多套路，一周目接触到了如下几类：

Nim——最基础的博弈论问题，也是博弈论的经典模型，很多问题可以转化为Nim进行求解，解决：SG函数。

Anti-Nim——Nim的拓展之一，即反Nim游戏（走最后一步输）。判断必胜条件为：当且仅当全部子SG小等1且局面SG为0，或局面SG>0且至少一个子SG>1。

Nimk——Nim的拓展之一，规则仅改变为可以取1-k堆，解决思路很巧妙(想出来的人脑子有天坑):将子SG写成二进制，统计每一位上各有多少1，如果每一位个数都满足mod（k+1）==0则必败，否则必胜。证明可见第一篇随笔中的链接。

阶梯博弈。添加了阶梯，其余和Nim相同。解决：对奇数号阶梯上的堆进行Nim游戏。

找规律。SG函数只能在子游戏互不影响（即独立）的情况下可以使用。此外可以考虑手动找规律（写个暴力跑一跑看看结果找找规律之类的）。

分类讨论。（没啥说头，恶心）

树上删边游戏。对于此有若干结论：对于一棵树，它等价于一棵长度为所有该树子属长度的异或和。对于环，如果为偶则可变成一个点，若为奇则可以变成一条边。如此下来将一个图可以变成一根竹子，显然可以进行Nim游戏。

博弈论的题总是和异或有不解之缘，所以可以和线性基结合。又由于局面之间的转化关系图，可以变成树上的问题，dp，搜索等等。

总之博弈论很神奇，题目很有意思，二周目见！（如果还会有二周目