积分图像的应用（一）：局部标准差

局部标准差在图像处理邻域具有广泛的应用，但是直接计算非常耗时，本文利用积分图像对局部标准差的计算进行加速。

局部标准差：

标准差定义如下（采用统计学中的定义，分母为）：

其中。

为了计算图像的局部标准差，首先设定局部区域的大小为 ，则局部区域的像素点个数 。

对标准差的公式进行化简：

因，故：

可以看出，局部标准差计算中需要对图像与进行局部求和操作，即和。

我们可以先分别计算出图像和的积分图像、，这样就能在常量时间计算出上述的局部和。

时间复杂度：

图像中共个像素点，每个局部区域共有个像素点，直接计算局部标准差的时间复杂度 ，利用积分图像计算局部标准差的时间复杂度为。（计算积分图像的时间为 、计算一个像素点的局部标准差需要常量时间，共个像素点，故最后的计算复杂度仍为 ）

Matlab程序：

Localstd.m:直接计算图像的局部标准差

function Std=Localstd(Img,d)
[m,n]=size(Img);
Var=zeros(m,n);
Img = padarray(Img,[d d],'symmetric');%边界填充
N=(2*d+1)^2;<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">%局部像素点个数</span>
for i=1:m
    for j=1:n
        i1=i+d;
        j1=j+d;
        B=Img(i1-d:i1+d,j1-d:j1+d);%取局部区域
        Var(i,j)=sum(sum((B-mean(B(:))).^2))/(N-1);%标准差公式
    end
end
Std=sqrt(Var);

fastLocalstd.m:利用积分图像进行快速计算

function Std=fastLocalstd(Img,d)
[m,n]=size(Img);
Img = padarray(Img,[d+1 d+1],'symmetric');%边界填充
Img2=Img.^2;
Int=integral(Img);%计算Img的积分图像
Int2=integral(Img2);%计算Img^2的积分图像
Var=zeros(m,n);
N=(2*d+1)^2;%局部像素点个数
for i=1:m
    for j=1:n
        i1=i+d+1;
        j1=j+d+1;
        %利用积分图像求局部和
        sumi2=Int2(i1+d,j1+d)+Int2(i1-d-1,j1-d-1)-Int2(i1+d,j1-d-1)-Int2(i1-d-1,j1+d);
        sumi=Int(i1+d,j1+d)+Int(i1-d-1,j1-d-1)-Int(i1+d,j1-d-1)-Int(i1-d-1,j1+d);
        Var(i,j)=(sumi2-sumi^2/N)/(N-1);
    end
end
Std=sqrt(Var);

function I=Integral(Img)
Img=double(Img);
[m,n]=size(Img);
I=zeros(m,n);
for i=1:m
    for j=1:n
        if i==1 && j==1             %积分图像左上角
            I(i,j)=Img(i,j);
        elseif i==1 && j~=1         %积分图像第一行
            I(i,j)=I(i,j-1)+Img(i,j);
        elseif i~=1 && j==1         %积分图像第一列
            I(i,j)=I(i-1,j)+Img(i,j);
        else                        %积分图像其它像素
            I(i,j)=Img(i,j)+I(i-1,j)+I(i,j-1)-I(i-1,j-1);
        end
    end
end

main.m:

clear all;
close all;
clc;
Img=double(imread('lena.tif'));
d=1;
tic
J1=Localstd(Img,d);
toc
tic
J2=fastLocalstd(Img,d);
toc
figure;
imshow([Img/max(Img(:)),J1/max(J1(:)),J2/max(J2(:))]);

lena.tif大小为256*256，Localstd运行时间为 0.984451s，而fastLocalstd运行时为0.025528s。

当然，对于局部标准差，Matlab本身提供了函数stdfilt，下面是它的核心代码：

function Std=Stdfilt(I,d)
I=double(I);
h=ones(2*d+1);
n=(2*d+1)^2;
conv1 = imfilter(I.^2,h,'symmetric') / (n-1);
conv2 = imfilter(I,h,'symmetric').^2 / (n*(n-1));
Std = sqrt(conv1-conv2);

可以看出，它按照化简后的公式直接对图像和进行卷积操作，因为imfilter函数是使用c实现的，且内部应该进行了优化，故速度较快。对上面的lena.tif运行时间为：0.064522s。