BZOJ 3309 DZY Loves Math 莫比乌斯反演

题目大意：

枚举d=gcd(i,j),得到

现在我们只需要知道Σ[d|T]f(d)μ(T/d)的前缀和就行了 设这个函数为g(x)

观察这个函数 由于含平方因子数的μ值都为零，因此我们只考虑μ(T/d)!=0的数

令T=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak，d=p1^b1*p2^b2*...*pk^bk

那么0<=(ai-bi)<=1

如果存在ai≠aj(i≠j)，那么我们可以将所有的a分为两部分：最大的集合A和非最大的集合B

很显然f值由A中的选取方案决定

对于A中的每种选取方案，μ值决定于总选择的数量的奇偶性

在集合B中选取奇数个元素和偶数个元素的方案数是相等的，故对于A中的每种选取方案，得到的和都是0

故如果存在ai≠aj(i≠j)，则g(T)=0

反之，如果所有的a值都相等，我们假设对于任意选取方案，f值都不变

那么由于选取奇数个元素和偶数个元素的方案数相等，和仍然为0

但是有一种选取方案的f值=a-1 因此我们要将这个1减掉

考虑到μ的符号之后，最终结果为(-1)^(k+1)

故如果不存在ai≠aj，则g(T)=(-1)^(k+1)

不知道说明白了没有。。。

求出g函数的方法是线性筛 对于每个值记录g值和最小质因数的次数 具体细节见代码

别忘了开long long

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 10001000
using namespace std;
int a[M],p_a[M],g[M],prime[1001001],tot;
bool not_prime[M];
void Linear_Shaker()
{
	int i,j;
	for(i=2;i<=10000000;i++)
	{
		if(!not_prime[i])
		{
			prime[++tot]=i;
			a[i]=1;
			p_a[i]=i;
			g[i]=1;
		}
		for(j=1;prime[j]*i<10000000;j++)
		{
			not_prime[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				a[prime[j]*i]=a[i]+1;
				p_a[prime[j]*i]=p_a[i]*prime[j];
				int temp=i/p_a[i];
				if(temp==1)
					g[prime[j]*i]=1;
				else
					g[prime[j]*i]=(a[temp]==a[prime[j]*i]?-g[temp]:0);
				break;
			}
			a[prime[j]*i]=1;
			p_a[prime[j]*i]=prime[j];
			g[prime[j]*i]=(a[i]==1?-g[i]:0);
		}
	}
	for(i=1;i<=10000000;i++)
		g[i]+=g[i-1];
}
long long Query(int n,int m)
{
	int i,last;
	long long re=0;
	if(n>m) swap(n,m);
	for(i=1;i<=n;i=last+1)
	{
		last=min(n/(n/i),m/(m/i));
		re+=(long long)(n/i)*(m/i)*(g[last]-g[i-1]);
	}
	return re;
}
int main()
{
	int T,a,b;
	Linear_Shaker();
	for(cin>>T;T;T--)
	{
		scanf("%d%d",&a,&b);
		printf("%lld\n",Query(a,b) );
	}
}