<OJ_Sicily>Travelling Salesman Problem

Description

有编号1到N的N个城市，问从1号城市出发，遍历完所有的城市并最后停留在N号城市的最短路径长度。

Input

第一行整数 T ：T组数据 （T<=20）

每个case 读入一个N( 2 <= N <= 20)，接着输入N行，第i行有两个整数 xi,yi表示

第i个城市坐标轴上的坐标，两个城市的距离定义为欧氏距离。

Output

每个case输出一个浮点数表示最短路径。四舍五入保留两位小数。

解题思路：使用动态规划解决旅行商问题

这道题中规定了起始点和终止点，目的是要求出从起始点到终止点，使得遍历全部城市并且路径最短。假设DP[i]{V}表示以点i作为终点，经过V集合中所有点的路径最小。

举个例子，V={2，3，4}，则DP[5]{V}则表示以点5为终点，要经过点2，3，4的路径最短距离，假设这样条件下的最短距离走法是3→4→2→5，则d34 + d42 + d25 = D[5]{V}

其中dij表示从点i到点j的欧式距离。

按照这样子想的话，假设输入N个城市，则需要对N-2进行全部的排列组合得到集合V可能出现的总数comPathNum。为了方便，我们使用01表示集合，例如000111表示点第1，2，3个点不在集合中，第4，5，6个点在集合中。因此我们能够用1个数来表示一种集合情况。

状态方程为：DP[i]{V} = min( DP[i]{V}, DP[k]{V-i} + distance[i][k] )     也就是以i为终点经过V的最短路径 =min( 原来的路径， 以k为终点经过V-i 的最短路径 +  k和i直接的路径 ）

获得最终的结果要加上与题目要求的终点

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <math.h>
#define MAX 10e7
using namespace std;
int caseNum, comPathNum, cityNum;
double DP[25][1100000]; // 记录存储状态
double distanceArr[25][25]; //记录城市之间的欧式距离

struct point{
    int x,y;
}city[25];

double getDistance(const point &a,const point &b){ // 求两个城市之间的欧式距离
    return sqrt(( a.x - b.x )*( a.x - b.x ) + (a.y - b.y)*(a.y - b.y));
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    cin >> caseNum;
    while (caseNum--) {
        cin >> cityNum;
        comPathNum = 1;
        for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
            cin >> city[i].x >> city[i].y;
        }
        for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
            for (int j = 0; j < cityNum; j++) {
                distanceArr[i][j] = distanceArr[j][i] = getDistance(city[i], city[j]);
            }
        }
        comPathNum <<= (cityNum-1);
        for (int i = 0; i < cityNum; i++) {   // 初始化状态矩阵
            for (int j = 0; j < comPathNum; j++) {
                DP[i][j] = MAX;
            }
        }
        for(int i = 0; i < cityNum; i++){   // 初始化DP的第0列数
            DP[i][0] = distanceArr[i][0];
        }
        for (int i = 1;  i < comPathNum; i ++) {
            for (int j = 1; j < cityNum; j++) {
                for (int k = 1; k < cityNum; k ++) {
                    if (1<<(k-1) & i) {
                        DP[j][i] = min(DP[j][i], distanceArr[j][k] + DP[k][i-(1<<(k-1))]);
                    }
                }
            }
        }
        double result = MAX;
        for (int i = 1; i <cityNum; i++) {  // 最终结果加上终点
            result = min(result, DP[i][comPathNum-1] + distanceArr[i][cityNum-1]);
        }
        cout << setprecision(2)<< setiosflags(ios::fixed)<< result << endl;

    }
    return 0;
}