人脸识别图像处理——PCA

本科论文做的是人脸识别，对一些算法进行复习。。。

概念

PCA （主成分分析算法）主要用于减少数据集的维数，同时保持数据集中方差最大的贡献。（我的理解是，图像处理时，数据量太大，通常需要降低数据维数，但是又希望保留贡献大的特征数据，PCA就是保留主要成分的降维算法）。人脸识别中，利用PCA算法构建特征脸。

算法实现流程

PCA降维过程：

1、每个样本（一张人脸图像 92*112=10304）作为一个行向量，所有样本（200张人脸图像）共同构建成一个矩阵（200x10304）

2、求矩阵的协方差矩阵（协方差简单的说就是两个维度的相关性的度量，协方差矩阵是每两个维度的协方差组成的一个矩阵）

3、求协方差矩阵的特征值和特征向量

4、将特征向量按特征值大小组合成一个映射矩阵，取前k列（或k行）作为最终映射矩阵。（n就是你要保留的维度数）

5、映射矩阵乘以原始数据构成的矩阵，达到降维效果。

快速PCA:

样本矩阵Z_nxd中的每个样本减去样本平均值m后的矩阵，则散布矩阵S（就是协方差矩阵）为(Z^TZ)dxd。现在考虑矩阵R=(ZZ^T)nxn，在本文中的人脸识别系统，n=200，d=10304,d远远大于n，但他们有相同的特征值。

设n为列向量v是R的特征值f对应的特征向量，则有：(ZZ^T)v=fv

上式两边同时左乘Z^T，并应用矩阵乘法结合律得：(Z^TZ)(Z^Tv)=f(Z^Tv)

Z^Tv散布矩阵S的特征值f对应的特征向量e=Z^Tv。因此，我们可以计算小矩阵R=(ZZ^T)nxn的特征向量v，之后左乘Z^T得到散布矩阵S的特征向量 Z^Tv。

代码

function [pcaA V] = fastPCA( A, k )
% 快速PCA
%
% 输入：A --- 样本矩阵，每行为一个样本
%      k --- 降维至 k 维
%
% 输出：pcaA --- 降维后的 k 维样本特征向量组成的矩阵，每行一个样本，列数 k 为降维后的样本特征维数
%      V --- 主成分向量

[r c] = size(A);

% 样本均值
meanVec = mean(A);

%DASF
% 计算协方差矩阵的转置 covMatT(Z 200x10304 ,Z‘ 10304x200)
Z = (A-repmat(meanVec, r, 1));
covMatT = Z * Z‘;

% 计算 covMatT 的前 k 个特征值和特征向量(10304xk)
[V D] = eigs(covMatT, k);

% 得到协方差矩阵 (covMatT)‘ 的特征向量
V = Z‘ * V;

% 特征向量归一化为单位特征向量
for i=1:k
    V(:,i)=V(:,i)/norm(V(:,i));
end

% 线性变换（投影）降维至 k 维（200xk）
pcaA = Z * V;

% 保存变换矩阵 V 和变换原点 meanVec
save(‘Mat/PCA.mat‘, ‘V‘, ‘meanVec‘);