斐波那契数列的记忆搜索

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  • 摘要
  • 斐波那契数列
    • 经典递归分析
    • 动态规划分析

摘要

本blog通过”斐波那契数列求值“这个经典问题,分析并说明“从单一递归到记忆搜索”这个思想过程。本blog是整个动态规划学习的一部分。(记忆搜索是动态规划的递归写法)

斐波那契数列

斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波那契数列以如下被以递推的方法定义:(本身没有F(0)的,考虑到编程实际加上)
\[
F(0)=0,F(1)=1\F(2)=F(0)+F(1)=1\...\F(n)=F(n-1)+F(n-2)
\]

经典递归分析

在代码中我加入了辅助输出

int F (int n)
{
    cout << "\nThis is F (" << n << ")";    //添加的辅助输出
    if (n == 0 || n == 1) return 1;         //递归边界
    else
    {
        cout << " = F (" << n-1 << ")+F (" << n-2 << ")" ;  //添加的辅助输出
        return F(n-1) + F(n-2);

    }
}

根据递归知识,绘制其算法过程的递归树:

每个结点在该过程中都是需要计算的,不同颜色标记不同的中间结果,不难发现有部分的重复计算。如果数据规模n很大,重复计算的次数将难以想象,复杂度将高达\(O(2^n)\)。为了避免重复计算,不妨开辟一个维数组记录中间结果的值。这样,当下次再碰到相同的计算内容时,就能直接使用上一次的计算结果。(拿空间换时间的思路),这种记录过程中间结果的方式,称之为“记忆搜索”。复杂度降到\(O(n)\),这正是动态规划采用的提高计算效率的方式。

动态规划分析

在代码中我加入了辅助输出

int dp[10];

int Fa (int n)
{
    cout << "\nThis Fa[" << n <<"]";    //添加的辅助输出
    if (n == 0 || n == 1)
        return 1;                       //递归边界
    if (dp[n] != -1)
    {
        cout << " find Fa[" << n <<"]"; //添加的辅助输出
        return dp[n];
    }
    else
    {
        cout << " calculate Fa[" << n-1 <<"] + Fa[" << n-2 <<"]";   //添加的辅助输出
        dp[n] = Fa(n-1) + Fa(n-2);
        return dp[n];
    }
}

同样绘制其算法过程的递归树:

图中右侧的F(2)F(3)查询上一次的计算结果,节省下了单一递归的后序结点。

查看比较输出的结果,记忆搜索的第二次F(2)F(3)是利用查找确定值,而不是进一步的递归。

原文地址:https://www.cnblogs.com/goodswarm/p/11703482.html

时间: 2024-10-12 16:55:36

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