问题
在圆上任取nn个点，将每对点用直线连接起来，并规定任意三条线不能交于同一点，这些直线会将圆分割成多少份？
首先我们列出简单情况来寻找规律：
- 2个点将圆分成2份
- 3个点将圆分成4份
- 4个点将圆分成8份
- 5个点将圆分成16份
看来这个数列的规律非常明显：每增加一个点，分割的份数都将乘2。然而，当点数增加到6个的时候，分割的份数不是我们预料的32，而是31。
为了找到这个数列的通项公式，我们使用欧拉示性数公式（Euler’s Characteristic Formula）来进行推导：
V−E+F=2V−E+F=2
这个公式的意思是，在任何联通平面简单图中，顶点数减边数加上面数等于2。
为了利用这个公式得到分割的份数（即为面数），我们需要先求出顶点和边的数量。
首先求顶点数：圆内的每个交点都对应圆上的4个点交叉相连，因此圆内的交点共有C4nCn4个，加上圆上的nn个点，因此V=n+C4nV=n+Cn4。
再求边数：圆内的那个交点的度数（度数是与点相连的边的个数）为4，圆上的点都与除此之外的每个点相连，因此度数是n−1n−1，所以总度数为4∗C4n+n∗(n−1)4∗Cn4+n∗(n−1)，由于每条边对于总度数的贡献为2，再加上连接圆上顶点的弦的数目，最后得边的数量E=2∗C4n+C2n+nE=2∗Cn4+Cn2+n。
将结果带入欧拉公式，并考虑园外区域也算一个面，则分割的份数为：
F−1=E−V+2−1=(2∗C4n+C2n+n)−(n+C4n)+1=C4n+C2n+1F−1=E−V+2−1=(2∗Cn4+Cn2+n)−(n+Cn4)+1=Cn4+Cn2+1
由排列组合公式，上式可以继续分解：
C4n+C2n+1=C4n−1+C3n−1+C2n−1+C1n−1+C0n−1Cn4+Cn2+1=Cn−14+Cn−13+Cn−12+Cn−11+Cn−10
这也就解释了当n<6n<6时结果总是成2的幂。
参考链接：
原文地址：https://www.cnblogs.com/yuelian/p/12001021.html