对角化

  • 不同特征值所定义的特征子空间的和是直和
  1. 直和===子空间的一组基可以成为原空间的一组基
  2. 直和===零向量是分解唯一的
  3. 不同的特征值所求出的特征向量一定是线性无关的（有一个特征值至少可以求出一个非零的特征向量，在特征子空间里取出一个特征向量）

定义线性变换可以对角化：线性变换有n个不同（线性无关的）的特征向量

推理：：：：判断一个矩阵/线性变换是否可以对角化的充分条件（不是必要条件）:线性变换有n个不同的特征值（线性变换的特征多项式没有重根）

推理：：：：线性变换的所有特征值的所对对应的特征子空间：先对角化当且仅当-----特征子空间的直和等于全空间（子空间的一组基可以拼接在一起等于全空间的一组基）

-------------------------------------------------------（同一个特征子空间的特征基向量一定的线性无关，而又证明不同的特征值的特征向量也是线性无关，故定理等价为定义（存在n个不同（线性无关的）的特征向量））

推理：可对角化的判定

λ是特征值，V是特征子空间------V的重数

代数重数：特征值作为特征多项式的根的重数（代数方程）

几何重数：（特征子空间的维数）

对任何的特征值而言----------其几何重数小于等于其代数重数

  • 子空间的一组基一定可以扩张为原空间的一组基

完全的特征向量系（一个线性变换/一个矩阵）对于其任何一个特征值,其几何重数等于其代数重数，则称矩阵有完全的特征向量系

  • 线性变换可对角化则称线性变换有完全的特征向量系（充分必要条件）

不同特征值的特征子空间的和都是直和但不一定等于全空间

  • 可对角化的应用：

可对角化的集合原型：就是对于线性变换可以找到一组基，使线性变换可以在某一组基下的表示矩阵等于对角矩阵，

则问题出现是否可以对角化，对角线的值，基过渡矩阵

P-1AP=寻找相似的对角矩阵

P是不唯一的------------------------------------------如何判断是否可对角化并且求出P--------几何重数与代数重数是否是相等的


可对角化矩阵的幂

特征子空间的维数----------解空间的维数-------λI-A的矩阵的秩

  1. 可对角化相对于不可对角化举证来说是多得多
时间： 2024-07-29 20:19:53

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